Question

如圖，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=11，BC=13，AB=12．動點P、Q分別在邊AD和BC上，且BQ=3DP．線段PQ與BD相交于點E，過點E作EF∥BC，交CD于點F，射線PF交BC的延長線于點G，設(shè)DP=x．
（1）求

EF

QG

的值．
（2）當(dāng)點P運動時，試探究四邊形EFGQ的面積是否會發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請用x的代數(shù)式表示四邊形EFGQ的面積S；如果不發(fā)生變化，請求出這個四邊形的面積S．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）先由平行線的性質(zhì)得∠PDE=∠EBQ，∠EPD=∠EQB．△EPD∽△EQB，再有相似三角形的性質(zhì)得

DP

BQ

=

PE

QE

，可得

PE

PQ

=

1

4

．因為EF∥BC，所以△PEF∽△PQG，即得

EF

QG

=

PE

PQ

=

1

4

；
（2）不會發(fā)生變化．由AD∥BC，得

BQ

PD

=

CG

PD

，可得BC=QG，由△PEF∽△PQG，得S四邊形EFGQ=

15

16

S△PQG．求得△PQG的面積即可得四邊形EFGQ的面積S．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠PDE=∠EBQ，∠EPD=∠EQB．
∴△EPD∽△EQB．
∴

DP

BQ

=

PE

QE

．
∵BQ=3DP，
∴

PE

QE

=

1

3

．
∴

PE

PQ

=

1

4

．
∵EF∥BC，
∴∠PEF=∠PQG，∠PFE=∠G．
∴△PEF∽△PQG，
∴

EF

QG

=

PE

PQ

=

1

4

；
（2）不會發(fā)生變化．
∵AD∥BC，
∴

BQ

PD

=

CG

PD

．
∴BQ=CG．
∴BC=QG．
∵△PEF∽△PQG，
∴S四邊形EFGQ=

15

16

S△PQG．
∴S△PQG=

1

2

QG×AB=

1

2

BC×AB=

1

2

×13×12=78．
∴S四邊形EFGQ=

15

16

×78=73.125．

點評：本題主要考查了相似三角形的綜合題，用到相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形面積的求法，關(guān)鍵是求得△PEF∽△PQG．