Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E為BC上兩點(diǎn)，∠DAE=45°，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE，且AF=AE，連接BF、EF．
（1）求證：FB⊥BD；
（2）若FB=4=BD，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）先證出∠BAF=∠CAE，再證明△ABF≌△ACE，證出∠ABF=∠C=45°，即可證出FB⊥BD；
（2）先求出DF=4

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，再證明△ADE≌△ADF，即可得出DE=DF=4

2

．

解答：解：（1）證明：∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，AB=AC，
∴∠BAD+∠CAE=45°，∠ABC=∠C=45°，
∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°，
∴∠DAF=45°，
∴∠BAF+∠BAD=45°，
∴∠BAF=∠CAE，
在△ABF和△ACE中，

AF=AE amp;  ∠BAF=∠CAE amp;  AB=AC amp;

∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴∠ABF=∠C=45°，
∴∠FBD=90°，
即FB⊥BD；
（2）∵∠FBD=90°，F(xiàn)B=BD=4，
∴DF=4

2

，
在△ADE和△ADF中，

AE=AF amp;  ∠DAE=∠DAF amp;  AD=AD amp;

∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴DE=DF=4

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．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．