Question

如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AB=8，點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AD=CE，連接DE、DF、EF．在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，下列結(jié)論中正確的結(jié)論是

 

．
①△DFE是等腰直角三角形；       
②四邊形CDFE不可能為正方形；
③DE長度的最小值是4；          
④四邊形CDFE的面積保持不變；
⑤△CDE面積的最大值為4．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：如圖，作輔助線；證明△ADF≌△CEF，進(jìn)而得到DF=EF，四邊形DCEF的面積=16，故①④正確；證明當(dāng)FD⊥AC時(shí)，F(xiàn)D最小=4，四邊形DCEF為正方形，同時(shí)△DCE的面積最大=8，故③正確，②⑤錯(cuò)誤．

解答：解：如圖，連接CF；
∵△ABC為等腰直角三角形，且點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，
∴∠A=45°，∠FCB=45°，AF=CF；
在△ADF與△CEF中，

AD=CE ∠A=∠FCE AF=CF

，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴DF=EF，S_△ADF=S_△CEF，
∴S四邊形DCEF=S△ACF=

1

2

S△ABC=

1

2

×

1

2

×8×8=16，
故①④正確；
當(dāng)FD⊥AC時(shí)，DF最小，此時(shí)，
∵∠DCE=∠CDF=∠CEF，且DF=EF，
∴四邊形DCEF為正方形，
故②錯(cuò)誤；
當(dāng)FD⊥AC時(shí)，∵CF=AF，
∴AD=CD=4，故③正確；
∵四邊形DCEF的面積為定值，
∴當(dāng)△DEF的面積最小時(shí)，△DCE的面積最大，
而△DEF的面積最小值=

1

2

×4×4=8，
∴△DCE的面積最大值=16-8=8，
故⑤錯(cuò)誤，
∴綜上所述，正確結(jié)論是：①③④．
答案為①③④．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了全等三角形的判定、正方形的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握全等三角形的判定、正方形的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)．