Question

如圖①②，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的等邊△CDE恰好與坐標(biāo)系中的△OAB重合，現(xiàn)將△CDE繞邊AB的中點G（G點也是DE的中點），按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°到△C₁DE的位置．
（1）求C₁點的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過三點O、A、C₁的拋物線的解析式；
（3）如圖③，⊙G是以AB為直徑的圓，過B點作⊙G的切線與x軸相交于點F，求切線BF的解析式；
（4）拋物線上是否存在一點M，使得S_△AMF：S_△OAB=16：3．若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可得C₁（3，）；

（2）∵拋物線過原點O（0，0），設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx，
把A（2，0），C′（3，）代入，得，
解得a=，b=-，
∴拋物線解析式為y=x²-x；

（3）∵∠ABF=90°，∠BAF=60°，
∴∠AFB=30°，
又∵AB=2，
∴AF=4，
∴OF=2，
∴F（-2，0），
設(shè)直線BF的解析式為y=kx+b，
把B（1，），F(xiàn)（-2，0）代入，得，
解得k=，b=，
∴直線BF的解析式為y=x+；

（4）①當(dāng)M在x軸上方時，存在M（x，x²-x），
S_△AMF：S_△OAB=[×4×（x²-x）]：[×2×]=16：3，
得x²-2x-8=0，解得x₁=4，x₂=-2，
當(dāng)x₁=4時，y=×4²-×4=，
當(dāng)x₁=-2時，y=×（-2）²-×（-2）=，
∴M₁（4，），M₂（-2，）；
②當(dāng)M在x軸下方時，不存在，設(shè)點M（x，x²-x），
S_△AMF：S_△OAB=[-×4×（x²-x）]：[×2×]=16：3，
得x²-2x+8=0，b²-4ac＜0無解，
綜上所述，存在點的坐標(biāo)為M₁（4，），M₂（-2，）．
分析：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，可以求出．
（2）運用待定系數(shù)法，代入二次函數(shù)解析式，即可求出．
（3）借助切線的性質(zhì)定理，直角三角形的性質(zhì)，求出F，B的坐標(biāo)即可求出解析式．
（4）當(dāng)M在x軸上方或下方，分兩種情況討論．
點評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式和切線的性質(zhì)定理等，綜合性比較強．