【題目】如圖1,已知正方形ABCD的邊長為1,點E在邊BC上,若∠AEF=90°,且EF交正方形的外角∠DCM的平分線CF于點F.
(1)圖1中若點E是邊BC的中點,我們可以構(gòu)造兩個三角形全等來證明AE=EF,請敘述你的一個構(gòu)造方案,并指出是哪兩個三角形全等(不要求證明);
(2)如圖2,若點E在線段BC上滑動(不與點B,C重合).
①AE=EF是否一定成立?說出你的理由;
②在如圖2所示的直角坐標(biāo)系中拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過A、D兩點,當(dāng)點E滑動到某處時,點F恰好落在此拋物線上,求此時點F的坐標(biāo).
【答案】(1)見解析;(2)①見解析;②點F的坐標(biāo)為F(,)
【解析】試題分析:(1)由于∠AEF=90°,故∠FEC=∠EAB,而E是BC中點,從而只需取AB點G,連接EG,則有AG=CE,BG=BE,∠AGE=∠ECF,易得△AGE≌△ECF;
(2)①由于AB=BC,所以只要AG=EC就有BG=BE,就同樣可得△AGE≌△ECF,于是截取AG=EC,證全等即可;
②根據(jù)A、D兩點的坐標(biāo)求出拋物線解析式,設(shè)出F點的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示,將F點的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出坐標(biāo).
解:(1)如圖1,取AB的中點G,連接EG.△AGE≌△ECF.
(2)①若點E在線段BC上滑動時AE=EF總成立.
證明:如圖2,在AB上截取AG=EC.
∵AB=BC,
∴BG=BE,
∴△GBE是等腰直角三角形,
∴∠AGE=180°﹣45°=135°,
∵CF平分正方形的外角,
∴∠ECF=135°,
∴∠AGE=∠ECF,
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°,
∴∠BAE=∠CEF,
∴△AGE≌△ECF,
∴AE=EF.
②由題意可知拋物線經(jīng)過A(0,1),D(1,1)兩點,
∴,解得,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+1,
過點F作FH⊥x軸于H,
由①知,FH=BE=CH,設(shè)BH=a,則FH=a﹣1,
∴點F的坐標(biāo)為F(a,a﹣1),
∵點F恰好落在拋物線y=﹣x2+x+1上,
∴a﹣1=﹣a2+a+1,
∴a=(負(fù)值不合題意,舍去),
點F的坐標(biāo)為F(,).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,拋物線的對稱軸交x軸于點D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在,直接寫出P點的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由;
(3)點E是線段BC上的一個動點,過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F,當(dāng)點E運動到什么位置時,△CBF的面積最大?求出△CBF的最大面積及此時E點的坐標(biāo).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三角形ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一點,AD=12,在AB上取一點E,使A、D、E三點組成的三角形與ABC相似,則AE=__________.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】作圖題:(不要求寫作法)如圖,在 10×10 的方格紙中,有一個格點四邊形 ABCD(即四邊形的頂點都在格點上)。①在給出的方格紙中,畫出四邊形 ABCD 向下平移 5 格后的四邊形 ABCD;②在給出的方格紙中,畫出四邊形 ABCD 關(guān)于直線 l 對稱的圖形 ABCD.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國務(wù)院辦公廳在2015年3月16日發(fā)布了《中國足球發(fā)展改革總體方案》,這是中國足球史上的重大改革,為進(jìn)一步普及足球知識,傳播足球文化,我市某區(qū)在中小學(xué)舉行了“足球在身邊”知識競賽,各類獲獎學(xué)生人數(shù)的比例情況如圖所示,其中獲得三等獎的學(xué)生共50名,請結(jié)合圖中信息,解答下列問題:
(1)獲得一等獎的學(xué)生人數(shù);
(2)在本次知識競賽活動中,A,B,C,D四所學(xué)校表現(xiàn)突出,現(xiàn)決定從這四所學(xué)校中隨機選取兩所學(xué)校舉行一場足球友誼賽,請用畫樹狀圖或列表的方法求恰好選到A,B兩所學(xué)校的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分別是邊AB和BC的中點,EP⊥CD于點P,則∠FPC=( )
A. 35° B. 45° C. 50° D. 55°
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,E,F(xiàn)分別是邊AB,CD上的點,AE=CF,連接EF,BF,EF與對角線AC交于點O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC,F(xiàn)C=2,則AB的長為( 。
A. 8 B. 8 C. 4 D. 6
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90,E為AB的中點,求證:
(1)AC2=AB·AD;
(2)CE∥AD。
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com