Question

【題目】如圖，拋物線y=+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，△CBF的面積最大？求出△CBF的最大面積及此時E點的坐標．

Answer 1

【答案】(1)y=+x+2；(2)存在．P（，4）或（，）或（，）；(3) 當E運動到BC的中點時，△EBC面積最大，△EBC最大面積是4，此時E（2，1）．

【解析】

試題分析：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=+bx+c列方程組即可；

（2）先求出CD的長，分兩種情形①當CP=CD時，②當DC=DP時分別求解即可；

（3）求出直線BC的解析式，設(shè)E(m，)，則F(m，)，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

試題解析：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=+bx+c得，

解得b=，c=2，

∴拋物線的解析式為y=+x+2；

（2）存在．如圖1中，∵C（0，2），D（，0），

∴OC=2，OD=，CD==，

①當CP=CD時，可得（，4），

②當DC=DP時，可得（，），（，），

綜上所述，滿足條件的P點的坐標為（，4）或（，）或（，）；

（3）如圖2中，

對于拋物線y=+x+2，當y=0時，+x+2=0，解得=4，=﹣1，

∴B（4，0），A（﹣1，0），

由B（4，0），C（0，2）得直線BC的解析式為y=x+2，

設(shè)E(m，)，則F(m，)，

EF=()﹣()==，

∴＜0，∴當m=2時，EF有最大值2，

此時E是BC中點，

∴當E運動到BC的中點時，△EBC面積最大，

∴△EBC最大面積=×4×EF=×4×2=4，此時E（2，1）．