Question

如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為3，AB=15．試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短，求此時AM+NB的長．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：MN表示直線a與直線b之間的距離，是定值，只要滿足AM+NB的值最小即可，作點A關于直線a的對稱點A′，并延長AA′，過點B作BE⊥AA′于點E，連接A′B交直線b于點N，過點N作NM⊥直線a，連接AM，則可判斷四邊形AA′NM是平行四邊形，得出AM=A′N，由兩點之間線段最短，可得此時AM+NB的值最�。�過點B作BE⊥AA′，交AA′于點E，在Rt△ABE中求出BE，在Rt△A′BE中求出A′B即可得出AM+NB．

解答：解：作點A關于直線a的對稱點A′，并延長AA′，過點B作BE⊥AA′于點E，連接A′B交直線b于點N，過點N作NM⊥直線a，連接AM，
∵A到直線a的距離為2，a與b之間的距離為4，
∴AA′=MN=4，
∴四邊形AA′NM是平行四邊形，
∴AM+NB=A′N+NB=A′B，
過點B作BE⊥AA′，交AA′于點E，
易得AE=2+4+3=9，AB=15，A′E=2+3=5，
在Rt△AEB中，BE=

AB2-AE2

=12，
在Rt△A′EB中，A′B=

A′E2+BE2

=13．
故AM+NB=13．

點評：本題考查了勾股定理的應用、平行線之間的距離，解答本題的關鍵是找到點M、點N的位置，難度較大，注意掌握兩點之間線段最短．