【題目】如圖1,OP是∠MON的平分線,請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以OP所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形,并將添加的全等條件標(biāo)注在圖上.
請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法,解答下列問(wèn)題:
(1)如圖2,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC和∠BCA的平分線,AD、CE相交于點(diǎn)F,求∠EFA的度數(shù);
(2)在(1)的條件下,請(qǐng)判斷FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)如圖3,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而( 1 )中的其他條件不變,試問(wèn)在(2)中所得結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)60°(2)FE=FD(3)FE=FD仍然成立
【解析】
在OM、ON上分別截取OB、OC,使OB=OC,分別過(guò)點(diǎn)B、C作OM、ON的垂線,兩垂線交于點(diǎn)Q,連接OQ,則△OBQ≌△OCQ;(1)已知∠A CB=90°,∠B=60°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得.∠BAC=30°.再由AD、CE分別是∠BAC和∠BCA的平分線,根據(jù)角平分線的定義求得∠DAC=15°,∠ECA=45°.根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得∠EFA=60°;(2)FE=FD,在AC上截取AG=AE,證明△EAF≌△GAF, 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FE=FG,∠EFA=∠GFA=60°.再證得∠DFC=∠GFC,利用ASA判定△FDC≌△FGC,由此可得FD=FG,從而證得 FE=FD;(3)(2)中的結(jié)論FE=FD仍然成立,證明類比(2)的方法完成.
如圖所示,△OBQ≌△OCQ;
(1)如圖2,∵∠ACB=90°,∠B=60°.
∴∠BAC=30°.
∵AD、CE分別是∠BAC和∠BCA的平分線,
∴∠DAC=∠BAC=15°,∠ECA=∠ACB=45°.
∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°.
(2)FE=FD.
如圖2,在AC上截取AG=AE,連接FG.
∵AD是∠BAC的平分線,
∴∠EAF=∠GAF,
在△EAF和△GAF中
∵
∴△EAF≌△GAF(SAS),
∴FE=FG,∠EFA=∠GFA=60°.
∴∠GFC=180°﹣60°﹣60°=60°.
又∵∠DFC=∠EFA=60°,
∴∠DFC=∠GFC.
在△FDC和△FGC中
∵
∴△FDC≌△FGC(ASA),
∴FD=FG.
∴FE=FD.
(3)(2)中的結(jié)論FE=FD仍然成立.
同(2)可得△EAF≌△HAF,
∴FE=FH,∠EFA=∠HFA.
又由(1)知∠FAC=∠BAC,∠FCA=∠ACB,
∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)==60°.
∴∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠FCA)=120°.
∴∠EFA=∠HFA=180°﹣120°=60°.
同(2)可得△FDC≌△FHC,
∴FD=FH.
∴FE=FD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點(diǎn)M,與BD相交于點(diǎn)O,與BC相交于點(diǎn)N,連接BM、DN.
(1)求證:四邊形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求菱形BMDN的面積和對(duì)角線MN的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知D、E分別為△ABC中AB、BC上的動(dòng)點(diǎn),直線DE與直線AC相交于F,∠ADE的平分線與∠B的平分線相交于P,∠ACB的平分線與∠F的平分線相交于Q.
(1)如圖1,當(dāng)F在AC的延長(zhǎng)線上時(shí),求∠P與∠Q之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,當(dāng)F在AC的反向延長(zhǎng)線上時(shí),求∠P與∠Q之間的數(shù)量關(guān)系(用等式表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,OE平分∠AOB,BD⊥OA于點(diǎn)D,AC⊥BO于點(diǎn)C,則圖中全等三角形共有_______對(duì).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【背景】國(guó)家為扶持軟件企業(yè)的發(fā)展,對(duì)企業(yè)實(shí)行月補(bǔ)貼,以提高企業(yè)的凈利潤(rùn).
【問(wèn)題】國(guó)內(nèi)某軟件企業(yè)2014 年12月份并未如期收到700萬(wàn)元的月補(bǔ)貼,這樣導(dǎo)致2014 年的凈利潤(rùn)增長(zhǎng)只有55%.而若補(bǔ)貼及時(shí)到位,則2014 年的凈利潤(rùn)增長(zhǎng)將達(dá)到60%.
(1)求2013年該企業(yè)凈利潤(rùn)是多少萬(wàn)元?
(2)又據(jù)統(tǒng)計(jì),2014年12月該企業(yè)不含月補(bǔ)貼的月凈利潤(rùn)為2100萬(wàn)元,2015年1月及2月不含月補(bǔ)貼的月凈利潤(rùn)比上月增加的百分?jǐn)?shù)分別是m和 2m,這兩個(gè)月的月補(bǔ)貼相等,且都在2014年12月基礎(chǔ)上增加了2m.據(jù)推算,若以后各月不含月補(bǔ)貼的月凈利潤(rùn)和月補(bǔ)貼均穩(wěn)定在2月份的水平不變,則 2015年該企業(yè)凈利潤(rùn)將達(dá)到2013年的3倍,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,已知AD,AE分別是△ADC和△ABC的高和中線,AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm,∠CAB=90°.試求:
(1)AD的長(zhǎng);
(2)△ABE的面積;
(3)△ACE和△ABE的周長(zhǎng)的差.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB=45,∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P,且OP=10.在OA上有一動(dòng)點(diǎn)Q,OB上有一動(dòng)點(diǎn)R.若ΔPQR周長(zhǎng)最小,則最小周長(zhǎng)是()
A. 10 B. C. 20 D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E.
(1)如圖1,連接EC,求證:△EBC是等邊三角形;
(2)點(diǎn)M是線段CD上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)C,D重合),以BM為一邊,在BM的下方作∠BMG=60°,MG交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.求證:AD=DG+MD;
(3)點(diǎn)N是線段AD上的一點(diǎn),以BN為一邊,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出圖形,并直接寫出ND,DG與AD數(shù)量之間的關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,BC=9,點(diǎn)P,Q分別在BC,AC上,CP=3x,CQ=4x(0<x<3).點(diǎn)D在線段PQ上,且PD=PC.
(1)求證:PQ∥AB;
(2)若點(diǎn)D在∠BAC的平分線上,求CP的長(zhǎng).
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