Question

設(shè)x₁，x₂是方程x²-2ax+a+6=0的兩個實根，求（x₁-1）²+（x₂-1）²的最小值．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式

專題：計算題

分析：先根據(jù)判別式的意義得到△=4a²-4（a+6）≥0，解得a≥3或a≤-2；再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=2a，x₁•x₂=a+6，然后變形得到（x₁-1）²+（x₂-1）²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂-2（x₁+x₂）+2，所以（x₁-1）²+（x₂-1）²=4a²-6a-10=4（a-

3

4

）²-

49

4

，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值．

解答：解：根據(jù)題意得△=4a²-4（a+6）≥0，即a²-a-6≥0，
∴（a-3）（a+2）≥0，
∴a≥3或a≤-2，
∵x₁+x₂=2a，x₁•x₂=a+6，
∴（x₁-1）²+（x₂-1）²=x₁²+x₂²-2（x₁+x₂）+2
=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂-2（x₁+x₂）+2
=4a²-2（a+6）-4a+2
=4a²-6a-10
=4（a-

3

4

）²-

49

4

，
當(dāng)a=3時，（x₁-1）²+（x₂-1）²=4×（3-

3

4

）²-

49

4

=8，
當(dāng)a=-2時，（x₁-1）²+（x₂-1）²=4×（-2-

3

4

）²-

49

4

=18，
∴（x₁-1）²+（x₂-1）²的最小值為8．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了根的判別式與二次函數(shù)的性質(zhì)．