【題目】(1)發(fā)現(xiàn):

如圖1,點A為線段BC外一動點,且BC=aAB=b

填空:當(dāng)點A位于     時,線段AC的長取得最大值,且最大值為     (用含a,b的式子表示)

(2)應(yīng)用:

A為線段BC外一動點,且BC=3,AB=1,如圖2所示,分別以ABAC為邊,作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接CDBE

①請找出圖中與BE相等的線段,并說明理由;

②直接寫出線段BE長的最大值.

(3)拓展:

如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)為(2,0),點B的坐標(biāo)為(5,0),點P為線段AB外一動點,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標(biāo).

【答案】(1) CB的延長線上,a+b(2)CD=BE,理由見解析;4;(32+3P2﹣).

【解析】試題分析:(1)根據(jù)點A位于CB的延長線上時,線段AC的長取得最大值,即可得到結(jié)論;(2根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB,AC=AEBAD=CAE=60°,推出CAD≌△EAB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE;由于線段BE長的最大值=線段CD的最大值,根據(jù)(1)中的結(jié)論即可得到結(jié)果;(3)連接BM,將APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到PBN,連接AN,得到APN是等腰直角三角形,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA=2BN=AM,根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長線時,線段BN取得最大值,即可得到最大值為2+3;過PPEx軸于E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),即可得到結(jié)論.

試題解析:(1A為線段BC外一動點,且BC=aAB=b,

當(dāng)點A位于CB的延長線上時,線段AC的長取得最大值,且最大值為BC+AB=a+b

2①CD=BE,

理由:∵△ABD△ACE是等邊三角形,

∴AD=AB,AC=AE∠BAD=∠CAE=60°,

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC

∠CAD=∠EAB,

△CAD△EAB中,

,

∴△CAD≌△EABSAS),

∴CD=BE

②∵線段BE長的最大值=線段CD的最大值,

由(1)知,當(dāng)線段CD的長取得最大值時,點DCB的延長線上,

最大值為BD+BC=AB+BC=4;

3)如圖1,連接BM

△APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN,連接AN,則△APN是等腰直角三角形,

∴PN=PA=2,BN=AM,

∵A的坐標(biāo)為(2,0),點B的坐標(biāo)為(5,0),

∴OA=2,OB=5

∴AB=3,

線段AM長的最大值=線段BN長的最大值,

當(dāng)N在線段BA的延長線時,線段BN取得最大值,

最大值=AB+AN,

AN=AP=2

最大值為2+3;

如圖2,過PPE⊥x軸于E

∵△APN是等腰直角三角形,

PE=AE=,

OE=BO﹣AB﹣AE=5﹣3﹣=2﹣,

P2﹣, ).

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