Question

如圖．已知一次函數(shù)y=x-2的圖象與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，以線段AB為邊作正方形ABCD如圖所示．
（1）求線段AB的長；
（2）求點D的坐標；
（3）若點P（-1，m）是平面直角坐標系中的一點，且△PAB的面積等于正方形面積的，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過P、B、D三點，求這個二次函數(shù)的表達式．

Answer 1

解：（1）一次函數(shù)y=x-2的圖象與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，
當y=0時，x=2，當x=0時，y=-2；
故A、B兩點的坐標為A（2，0），B（0，-2），
AB==2；

（2）過D作DE⊥x軸交x軸于E點，
正方形ABCD的邊長AB=2，
AD=AB，故D點的縱坐標與B點一樣應為-2，
AE=OA=2，∴OE=OA+AE=4，故D點的橫坐標為4，
故D點坐標為D（4，-2）；

（3）S_□ABCD=，S_△PAB=S_□ABCD=4，
故AB邊上的高應為2，
①如圖2，過點P作PH⊥AB于H，AB交x=-1于點M，
∵直線AB為：y=x-2，
∴∠PMA=45°，
∵PH=2，
∴PM=PH=4，
∴P點坐標為P（-1，1），
設經(jīng)過P、B、D三點的二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
將P、B、D三點坐標代入二次函數(shù)解析式可得
，
解得，
故二次函數(shù)的解析式為y=x²-x-2．
②如圖2，過點P′作P′H′⊥AB延長線于點H′．
同理求得P′（-1，-7）．則過P、B、D三點的二次函數(shù)的解析式為y=-x²+4x-2．
綜上所述，符合條件的拋物線的解析式是：y=x²-x-2或y=-x²+4x-2．
分析：（1）根據(jù)題意將一次函數(shù)y=x-2的x、y分別等于0，即可求得A、B兩點的坐標；
（2）過D作DE⊥x軸交x軸與E點，根據(jù)正方形的性質便可求得D點坐標；
（3）先求出P點坐標，然后將P、B、D三點坐標代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax²+bx+c，即可求得二次函數(shù)解析式．
點評：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合題，題中涉及用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識點，解答要注意數(shù)形結合思想的運用，是各地中考的熱點，同學們要加強訓練，屬于中檔題．