Question

【題目】我們規(guī)定：橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做“完美點(diǎn)”.

(1)若點(diǎn)A(x，y)是“完美點(diǎn)”，且滿足x+y=4，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是正方形，點(diǎn)A坐標(biāo)為(0，4)，連接OB，E點(diǎn)從O向B運(yùn)動，速度為2個單位/秒，到B點(diǎn)時運(yùn)動停止，設(shè)運(yùn)動時間為t.

①不管t為何值，E點(diǎn)總是“完美點(diǎn)”；

②如圖2，連接AE，過E點(diǎn)作PQ⊥x軸分別交AB、OC于P、Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AE交x軸于點(diǎn)F，問：當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動時，四邊形AFQP的面積是否發(fā)生變化？若不改變，求出面積的值；若改變，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)A(2，2)；(2)①證明見解析；②當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動時，四邊形AFQP的面積不變，面積為8.

【解析】

（1）根據(jù)“完美點(diǎn)”定義可求點(diǎn)A坐標(biāo)；（2）①由題意可求直線OB的解析式y=x，點(diǎn)E在直線OB上移動，則可證結(jié)論；②根據(jù)題意可證△EFQ≌△APE，可求PE=FQ，則可求四邊形AFQP的面積．

解(1)∵點(diǎn)A(x，y)是“完美點(diǎn)”

∴x=y

∵x+y=4

∴x=2，y=2

∴A點(diǎn)坐標(biāo)(2，2)

(2)①∵四邊形OABC是正方形，點(diǎn)A坐標(biāo)為(0，4)，

∴AO=AB=BC=4∴B(4，4)

設(shè)直線OB解析式y=kx過B點(diǎn)

∴4=4k，k=1

∴直線OB解析式y=x

設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)(x，y)

∵點(diǎn)E在直線OB上移動

∴x=y

∴不管t為何值，E點(diǎn)總是“完美點(diǎn)”.

②∵E點(diǎn)總是“完美點(diǎn)”.

∴EQ=OQ

∵∠BAO=∠AOC=90°，PQ⊥x軸

∴四邊形AOQP是矩形

∴AP=OQ，AO=PQ=4

∴AP=EQ

∵AE⊥EF

∴∠AEP+∠FEQ=90°，∠EAP+∠AEP=90°

∴∠FEQ=∠EAP

∵AP=EQ，∠FEQ=∠EAP，∠APE=∠EQF=90°

∴△APE≌△EFQ

∴PE=FQ

∵S四邊形AFQP= =2(PE+EQ)=2×PQ=8

∴當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動時，四邊形AFQP的面積不變，面積為8.