Question

【題目】已知△ABC的一條邊BC的長為5，另兩邊AB、AC的長是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根。

（1）求證：無論為何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根。

（2）為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形。

（3）為何值時，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周長。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；（3）或，周長為14或16.

【解析】

（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出△=1＞0，由此即可得出方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）利由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得：，，根據(jù)BC=5利用勾股定理即可得出關(guān)于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值；

（3）根據(jù)（1）結(jié)論可得出AB≠AC，由此可找出△ABC是等腰三角形分兩種情況，分AB=BC、AC=BC兩種情況考慮，根據(jù)兩邊相等找出關(guān)于k的一元一次方程，解方程求出k值，進(jìn)而可得出三角形的三邊長，再根據(jù)三角形的周長公式即可得出結(jié)論．

解：(1)∵

，

∴無論為何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)∵AB、AC的長是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，

∴由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得：，，

又∵△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，由勾股定理，得：，

即，

∴，

整理，得：，解得：，，

∵AB、AC是△ABC的兩條邊，∴AB＞0，AC＞0，∴AB+AC＞0

而當(dāng)時，AB+AC＝2×（-5）＋3＝-7＜0，∴不合題意，舍去，故，

∴當(dāng)時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；

（3）由（1）的結(jié)論可知，，∴BC邊只能是腰，

∴AB、AC中必有一邊長為5，不妨設(shè)AB＝5，

也就是說關(guān)于的一元二次方程必有一根為5，

∴，整理得：，解得：，，

當(dāng)時，原方程為，兩根為：，，這時有AB＝5，AC＝4，BC＝5能構(gòu)成一個等腰三角形，其周長為14，

當(dāng)時，原方程為，兩根為：，，這時有AB＝5，AC＝6，BC＝5能構(gòu)成一個等腰三角形，其周長為16.