【題目】如圖,點PQ是邊長為4cm的等邊△ABCAB、BC上的動點,點P從頂點A,點Q從頂點B同時出發(fā),且它們的速度都為1cm/s,連接AQ、CP交于點M,則在P、Q運動的過程中,下列結論錯誤的是(

A.BP=CM

B.ABQ≌△CAP

C.CMQ的度數(shù)不變,始終等于60°

D.當?shù)?/span>秒或第秒時,△PBQ為直角三角形

【答案】A

【解析】

A、等邊三角形ABC中,AB=BC,而AP=BQ,所以BP=CQ;
B、根據(jù)等邊三角形的性質,利用SAS證明ABQ≌△CAP
C、由ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質可得∠BAQ=ACP,從而得到∠CMQ=60°
D、設時間為t秒,則AP=BQ=tcm,PB=4-tcm,當∠PQB=90°時,因為∠B=60°,所以PB=2BQ,即4-t=2t故可得出t的值,當∠BPQ=90°時,同理可得BQ=2BP,即t=24-t),由此兩種情況即可得出結論.

解:A、在等邊ABC中,AB=BC
∵點P、Q的速度都為1cm/s,
AP=BQ,
BP=CQ
只有當CM=CQ時,BP=CM
A錯誤;

B、∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABQ=CAPAB=CA
又∵點P、Q運動速度相同,
AP=BQ,
ABQCAP中,

∴△ABQ≌△CAPSAS).
B正確;
C、點P、Q在運動的過程中,∠QMC不變.
理由:∵△ABQ≌△CAP
∴∠BAQ=ACP,
∵∠QMC=ACP+MAC,
∴∠CMQ=BAQ+MAC=BAC=60°
C正確;
D、設時間為t秒,則AP=BQ=tcm,PB=4-tcm,
當∠PQB=90°時,
∵∠B=60°
PB=2BQ,即4-t=2tt=,
當∠BPQ=90°時,
∵∠B=60°,
BQ=2BP,得t=24-t),t=,
∴當?shù)?/span>秒或第秒時,PBQ為直角三角形.
D正確.故選:A

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