Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一個(gè)圓心角為45°，半徑的長(zhǎng)等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE，CF分別與直線AB交于點(diǎn)M，N當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在∠ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖，求證：MN²=AM²+BN²．
（提示：考慮MN²=AM²+BN²符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決，可將△ACM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△CBD，連DN，只需要DN=MN，∠DBN=90°即可，也可用其它證法）

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：如圖，作輔助線；證明MP=AM；證明△PCN≌△BCN，得到BN=PN，∠NPC=∠B=45°；進(jìn)而證明∠MPN=90°；運(yùn)用勾股定理即可解決問(wèn)題．

解答：解：如圖，作△AMC的對(duì)稱△PMC，連接PN；
∵∠ACB=90°，CA=CB，∠MCN=45°，
∴∠A=∠B=45°，∠ACM+∠BCN=45°；
由題意得：CP=CA，∠ACM=∠PCM（設(shè)為α），
∠MPC=∠A=45°；
∵∠PCN=45°-α，∠BCN=45°-α，
∴∠PCN=∠BCN；
在△PCN與△BCN中，

PC=BC ∠PCN=∠BCN NC=NC

，
∴△PCN≌△BCN（SAS），
∴BN=PN，∠NPC=∠B=45°，
∴∠MPN=90°；
由勾股定理得：MN²=MP²+NP²，
∵AM=MP，BN=NP，
∴MN²=AM²+BN²．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．