【題目】如圖,在正方形ABCD中,邊長為4,∠MDN=90°,將∠MDN繞點D旋轉,其中DM邊分別與射線BA、直線AC交于E、Q兩點,DN邊與射線BC交于點F;連接EF,且EF與直線AC交于點P.
(1)如圖1,點E在線段AB上時,①求證:AE=CF;②求證:DP垂直平分EF;
(2)當AE=1時,求PQ的長.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)①只要證明△ADE≌△CDE(ASA)即可解決問題;
②利用相似三角形的性質證明∠PDQ=45°即可解決問題;
(2)作QH⊥AD于H,QE⊥AB于G.由△AQD∽△EQP,可知AQPQ=DQEQ,想辦法求出AQ,EQ,DQ即可解決問題;
(1)①證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴DA=DC,∠ADC=∠DAE=∠DCF=90°,
∴∠ADC=∠MDN=90°,
∴∠ADE=∠CDF,
∴△ADE≌△CDE(ASA),
∴AE=CF.
②∵△ADE≌△CDE(ASA),
∴DE=DF,∵∠MDN=90°,
∴∠DEF=45°,
∵∠DAC=45°,
∴∠DAQ=∠PEQ,∵∠AQD=∠EQP,
∴△AQD∽△EQP,
∴ ,
∴,
∵∠AQE=∠PQD,
∴△AQE∽△DQP,
∴∠DDP=∠QAE=45°,
∴∠DPE=90°,
∴DP⊥EF,
∵DE=DF,
∴PE=PF,
∴DP垂直平分線段EF.
(2)解:作QH⊥AD于H,QE⊥AB于G.
在Rt△ADE中,DE=,
∵∠QAH=∠QAG=45°,
∴HO=QE=AH=EQ,設QH=x,
∵×4×x+×1×x=×1×4,
∵x=,
∴AQ=,DQ==,EQ=,
∵△AQD∽△EQP,
∴AQPQ=DQEQ,
∴PQ== .
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC為直徑的⊙O交AB于點D,切線DE交AC于點E.
(1)求證:∠A=∠ADE;
(2)若AD=8,DE=5,求BC的長.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為+1,對角線AC、BD相交于點O,AE平分∠BAC分別交BC、BD于E、F,
(1)求證:△ABF∽△ACE;
(2)求tan∠BAE的值;
(3)在線段AC上找一點P,使得PE+PF最小,求出最小值.
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【題目】(10分)如圖,一次函數與反比例函數的圖象交于A(1,4),B(4,n)兩點.
(1)求反比例函數的解析式;
(2)求一次函數的解析式;
(3)點P是x軸上的一動點,試確定點P并求出它的坐標,使PA+PB最小.
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【題目】某測量隊在山腳A處測得山上樹頂仰角為45°(如圖),測量隊在山坡上前進600米到D處,再測得樹頂的仰角為60°,已知這段山坡的坡角為30°,如果樹高為15米,則山高為( 。ň_到1米, =1.732).
A. 585米 B. 1014米 C. 805米 D. 820米
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,A(0,4),B(3,4),P 為線段 OA 上一動點,過 O,P,B 三點的圓交 x 軸正半軸于點 C,連結 AB, PC,BC,設 OP=m.
(1)求證:當 P 與 A 重合時,四邊形 POCB 是矩形.
(2)連結 PB,求 tan∠BPC 的值.
(3)記該圓的圓心為 M,連結 OM,BM,當四邊形 POMB 中有一組對邊平行時,求所有滿足條件的 m 的值.
(4)作點 O 關于 PC 的對稱點O ,在點 P 的整個運動過程中,當點O 落在△APB 的內部 (含邊界)時,請寫出 m 的取值范圍.
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