【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為+1,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AE平分∠BAC分別交BC、BD于E、F,
(1)求證:△ABF∽△ACE;
(2)求tan∠BAE的值;
(3)在線段AC上找一點(diǎn)P,使得PE+PF最小,求出最小值.
【答案】(1)證明見解析;(2)tan∠EAB=﹣1;(3)PE+PF的最小值為.
【解析】
(1)根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似判斷即可;
(2)如圖1中,作EH⊥AC于H.首先證明BE=EH=HC,設(shè)BE=EH=HC=x,構(gòu)建方程求出x即可解決問題;
(3)如圖2中,作點(diǎn)F關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)H,連接EH交AC于點(diǎn)P,連接PF,此時(shí)PF+PE的值最小,最小值為線段EH的長(zhǎng);
(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ACE=∠ABF=∠CAB=45°,
∵AE平分∠CAB,
∴∠EAC=∠BAF=22.5°,
∴△ABF∽△ACE.
(2)解:如圖1中,作EH⊥AC于H.
∵EA平分∠CAB,EH⊥AC,EB⊥AB,
∴BE=EB,
∵∠HCE=45°,∠CHE=90°,
∴∠HCE=∠HEC=45°,
∴HC=EH,
∴BE=EH=HC,設(shè)BE=HE=HC=x,則EC=x,
∵BC=+1,
∴x+x=+1,
∴x=1,
在Rt△ABE中,∵∠ABE=90°,
∴tan∠EAB=﹣1.
(3)如圖2中,作點(diǎn)F關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)H,連接EH交AC于點(diǎn)P,連接PF,此時(shí)PF+PE的值最。
作EM⊥BD于M.BM=EM=,
∵AC==2+,
∴OA=OC=OB=AC= ,
∴OH=OF=OAtan∠OAF=OAtan∠EAB= (﹣1)=,
∴HM=OH+OM=,
在Rt△EHM中,EH= =..
∴PE+PF的最小值為..
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知在△ABC中,∠A=90°.
(1)請(qǐng)用圓規(guī)和直尺作出⊙P,使圓心P在AC邊上,且與AB,BC兩邊都相切(保留作圖痕跡,不寫作法和證明);
(2)在(1)的條件下,若∠B=45°,AB=1,⊙P切BC于點(diǎn)D,求劣弧的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的頂點(diǎn)在直線上.
(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)現(xiàn)將拋物線沿該直線方向進(jìn)行平移,平移后的拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn),與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn),與軸的右交點(diǎn)為點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合),連接,.
①如圖,在平移過程中,當(dāng)點(diǎn)在第四象限且的面積為60時(shí),求平移的距離的長(zhǎng);
②在平移過程中,當(dāng)是以線段為一條直角邊的直角三角形時(shí),求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖:已知△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,P點(diǎn)在AC上(與A、C不重合),Q在BC上.
(1)當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí),求CP的長(zhǎng);
(2)當(dāng)△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí),求CP的長(zhǎng);
(3)試問:在AB上是否存在一點(diǎn)M,使得△PQM為等腰直角三角形?若不存在,請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由;若存在,請(qǐng)求出PQ的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,已知AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的弦,過O點(diǎn)作OF⊥AB交⊙O于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,點(diǎn)G是EF的中點(diǎn),連接CG
(1)判斷CG與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求證:2OB2=BCBF;
(3)如圖2,當(dāng)∠DCE=2∠F,CE=3,DG=2.5時(shí),求DE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,邊長(zhǎng)為4,∠MDN=90°,將∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),其中DM邊分別與射線BA、直線AC交于E、Q兩點(diǎn),DN邊與射線BC交于點(diǎn)F;連接EF,且EF與直線AC交于點(diǎn)P.
(1)如圖1,點(diǎn)E在線段AB上時(shí),①求證:AE=CF;②求證:DP垂直平分EF;
(2)當(dāng)AE=1時(shí),求PQ的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,P是半圓弧上一動(dòng)點(diǎn),連接PA、PB,過圓心O作交PA于點(diǎn)C,連接已知,設(shè)O,C兩點(diǎn)間的距離為xcm,B,C兩點(diǎn)間的距離為ycm.
小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行探究.
下面是小東的探究過程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:
通過取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量,得到了x與y的幾組值,如下表:
0 | 1 | 2 | 3 | ||||
3 | 6 |
說明:補(bǔ)全表格時(shí)相關(guān)數(shù)據(jù)保留一位小數(shù)
建立直角坐標(biāo)系,描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),畫出該函數(shù)的圖象;
結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,解決問題:直接寫出周長(zhǎng)C的取值范圍是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有△ABC,其中A(﹣3,4),B(﹣4,2),C(﹣2,1).把△ABC繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A1B1C1.再把△A1B1C1向左平移2個(gè)單位,向下平移5個(gè)單位得到△A2B2C2.
(1)畫出△A1B1C1和△A2B2C2.
(2)直接寫出點(diǎn)B1、B2坐標(biāo).
(3)P(a,b)是△ABC的AC邊上任意一點(diǎn),△ABC經(jīng)旋轉(zhuǎn)平移后P對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P1、P2,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某次模擬考試后,抽取 m 名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行整理分組,形成如下表格(x 代表成績(jī)),并繪制出扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)分布直方圖(橫坐標(biāo)表示成績(jī),單位:分).
A 組 | 140<x≤150 |
B 組 | 130<x≤140 |
C 組 | 120<x≤130 |
D 組 | 110<x≤120 |
E 組 | 100<x≤110 |
(1)m 的值為多少,扇形統(tǒng)計(jì)圖中 D 組對(duì)應(yīng)的圓心角是多少度.
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,并標(biāo)注出相應(yīng)的人數(shù).
(3)若此次考試數(shù)學(xué)成績(jī) 130 分以上的為優(yōu)秀,參加此次模擬考的學(xué)生總數(shù)為 2000,請(qǐng)估算此次考試數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù).
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