Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)E和F的坐標(biāo)分別為E（0，-2）、F（2

3

，0），P在直線EF上，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，使得∠APB=60°，若符合件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)，則⊙O的半徑為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：作OH⊥EF于P，如圖，此時(shí)點(diǎn)P是直線EF上到圓心O距離最小的點(diǎn)即點(diǎn)P為滿足條件的點(diǎn)，連結(jié)OA，先利用勾股定理計(jì)算出EF=4，再利用面積法計(jì)算出OP=

3

，由于PA、PB為⊙O的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得OP平分∠APB，根據(jù)切線的性質(zhì)得OA⊥PA，則∠APO=

1

2

∠APB=30°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系在Rt△OPA中可計(jì)算出OA．

解答：解：作OH⊥EF于P，如圖，此時(shí)點(diǎn)P是直線EF上到圓心O距離最小的點(diǎn)，
連接OA，
∵E（0，-2）、F（2

3

，0），
∴OE=2，OF=2

3

，
∴EF=

OE2+OF2

=4，
∵

1

2

OP•EF=

1

2

•OE•OF，
∴OP=

2×2 3

4

=

3

，
∵PA、PB為⊙O的切線，
∴OP平分∠APB，OA⊥PA，
∴∠APO=

1

2

∠APB=

1

2

×60°=30°，
在Rt△OPA中，OA=

1

2

OP=

3

2

，
即此時(shí)⊙O的半徑為

3

2

．
故答案為

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了切線長(zhǎng)定理和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．