Question

如圖①，在四邊形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均為銳角，點(diǎn)P是對角線BD上的一點(diǎn)，PQ∥BA交AD于點(diǎn)Q，PS∥BC交DC于點(diǎn)S，四邊形PQRS是平行四邊形．
（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，圖①變?yōu)閳D②，若∠ABD=90°，求證：△ABR≌△CRD；
（2）對于圖①，若四邊形PRDS也是平行四邊形，此時，四邊形ABCD應(yīng)是何種特殊的四邊形？（按題中所給條件畫出圖形，不必說明理由）

Answer 1

分析：（1）可先證CR⊥BD，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，求得∠BCR=∠DCR，進(jìn)而求得∠BAR=∠DCR，又有AB=CR，AR=BC=CD，可證△ABR≌△CRD；
（2）由PS∥QR，PS∥RD知，點(diǎn)R在QD上，故BC∥AD．又由AB=CD知∠A=∠CDA因?yàn)镾R∥PQ∥BA，所以∠SRD=∠A=∠CDA，從而SR=SD．由PS∥BC及BC=CD知SP=SD．而SP=DR，所以SR=SD=RD故∠CDA=60度．因此四邊形ABCD還應(yīng)滿足BC∥AD，∠CDA=60°

解答：（1）證明：如圖②，
∵∠ABD=90°，AB∥CR，
∴CR⊥BD．
∵BC=CD，
∴∠BAR=∠BCR．
∵四邊形ABCR是平行四邊形，
∴∠BCR=∠DCR．
∴∠BAR=∠DCR．
又∵AB=CR，AR=BC=CD，
∴△ABR≌△CRD（SAS）．

（2）解：四邊形ABCD還應(yīng)滿足BC∥AD，∠CDA=60°的梯形，
理由如下：
由PS∥QR，PS∥RD知，點(diǎn)R在QD上，
故BC∥AD．
又由AB=CD，知∠A=∠CDA，
因?yàn)镾R∥PQ∥BA，
所以∠SRD=∠A=∠CDA，從而SR=SD．
由PS∥BC
∴△DCB∽△DSP，
∵BC=CD，
∴SP=SD．而SP=DR，
所以SR=SD=RD，
故∠CDA=60°．
因此四邊形ABCD還應(yīng)滿足BC∥AD，∠CDA=60°．

點(diǎn)評：三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．