Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D、B、C、E在同一條直線上，且∠DAE=120°．
（1）圖中有哪幾對三角形相似？請證明其中的一對三角形相似；
（2）若DB=2，CE=6，求BC的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)相似三角形的判定及已知可得到題中存在的相似三角形；
（2）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例及已知，即可求得DB、BC、CE之間的關(guān)系，進而求出BC的長．

解答：解：（1）有△DAE∽△DBA∽△ACE．  
∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．
∴∠D+∠DAB=60°，∠E+∠CAE=60°．
∵∠DAE=120°，
∴∠DAB+∠EAC=60°．
∴∠D=∠CAE，∠E=∠DAB．
∵∠D=∠D，∠E=∠E，
∴△DAE∽△DBA∽△ACE．
（2）∵△DBA∽△ACE，
∴DB：AC=AB：CE．
∵AB=AC=BC，DB=2，CE=6
∴BC²=DB•CE=12，
∵BC＞0，
∴BC=2

3

．

點評：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：
①如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；
②如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；
③如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似．