Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)B，連結(jié)OB．將OB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°并延長(zhǎng)至A，使OA＝2OB，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2）．

（1）求過點(diǎn)B的雙曲線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)反比例函數(shù)的圖像，指出當(dāng)x＜－1時(shí)，y的取值范圍；

（3）連接AB，在該雙曲線上是否存在一點(diǎn)P，使得S△ABP＝S△ABO，若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

 

Answer 1

（1）雙曲線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣；

（2）當(dāng)x＜﹣1時(shí)，0＜y＜2；

（3）存在；點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣，4）．

【解析】

試題分析：（1）作AM⊥x軸于點(diǎn)M，BN⊥x軸于點(diǎn)N，由相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN，OA=2OB，再根據(jù)OA=2OB，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2）可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出反比例函數(shù)的關(guān)系式；

（2）由函數(shù)圖象可直接得出結(jié)論；

（3）根據(jù)AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知AB∥x軸，S△ABP=S△ABO=5，再分當(dāng)點(diǎn)P在AB的下方與當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方兩種情況即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）作AM⊥x軸于點(diǎn)M，BN⊥x軸于點(diǎn)N，

∵OB⊥OA，∠AMO=∠BNO=90°，

∴∠AOM=∠NBO，

∴△AOM∽△OBN．

∵OA=2OB，

∴，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），

∴BN=2，ON=1，

∴B（﹣1，2）．

∴雙曲線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣；

（2）由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，0＜y＜2；

（3）存在．

∵yA=yB，

∴AB∥x軸，

∴S△ABP=S△ABO=5，

∴當(dāng)點(diǎn)P在AB的下方時(shí)，點(diǎn)P恰好在x軸上，不合題意舍去；

當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，點(diǎn)P在第二象限，得AB•（yP﹣2）=5，即×5×（yP﹣2）=5，解得yP=4，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣，4）．

考點(diǎn)：1、相似三角形的判定與性質(zhì)；2、待定系數(shù)法；3、函數(shù)大小的比較；4、反比例函數(shù)