Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，動(dòng)點(diǎn)P在線段DC上以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)D向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ∥AC交AD于Q，將△PDQ沿PQ翻折得到△PQE. 設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）當(dāng)點(diǎn)E落在邊AB上時(shí)，t的值為 ；

（2）設(shè)△PQE與△ADC重疊部分的面積為s，求s與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如圖2，以PE為直徑作⊙O．當(dāng)⊙O與AC邊相切時(shí)，求CP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）（2）s=（當(dāng)0＜t≤2），s=（2＜t≤4）（3）

【解析】分析：（1）過P作PF⊥BA于F，由∠QPD=∠ACD，得到∠QPD和∠ACD的三角函數(shù)相等，得到QD=，PQ=，EQ=QD=，AQ=．在△EFP中，由勾股定理得到EF=，由同角的余角相等，得到∠FEP=∠EQA，得到cos∠FEP=cos∠EQA，即，解方程即可得到結(jié)論；

（2）當(dāng)E剛好在CA上時(shí)，如圖3，由平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得到∠1=∠4=∠2=∠3，得到PC=PE=PD=t，即2t=4，解方程即可．然后分兩種情況討論：

①當(dāng)時(shí)， S=S△EPQ=S△PDQ即可得到結(jié)論；

②當(dāng)時(shí)，如圖4，由（2）可知，PM=PC=4-t，得到EM=t-（4-t）=2t－4，由相似三角形的性質(zhì)得到 ，由 S=即可得到結(jié)論．

（3）如圖，設(shè)切點(diǎn)為H，作PG⊥AC于G，連接HO并延長(zhǎng)交PQ于F．設(shè)CP＝5x，則PG＝3x，PD＝PE＝4－5x，由OF＝ OP， 得到HF＝OH＋OF=（ 4－5x ） ，從而得到（ 4－5x ）＝3x，求出x的值 ，由CP＝5x即可得到結(jié)論．

詳解：（1）過P作PF⊥BA于F．在△ADC中，sin∠ACD=，cos∠ACD=．∵PQ∥CA，∴∠QPD=∠ACD，tan∠ACD=．∵PD=PE=t，∴QD=，PQ=，∴EQ=QD=，AQ=．在△EFP中，∵PF=3，PE=t，∴EF=．∵∠PEQ=90°，∴∠FEP+∠EPF=90°，∠AEQ+∠EQA=90°，∴∠FEP=∠EQA，∴cos∠FEP=cos∠EQA，∴，解得：t=；

（2）當(dāng)E剛好在CA上時(shí)，如圖3．∵PQ∥CA，∴∠1=∠4，∠2=∠3．∵∠3=∠4，∴∠1=∠2，∴PC=PE．∵PE=PD=t，∴PC=PD=t，∴2t=4，解得：t=2．

①當(dāng)時(shí)，如圖1，S=S△EPQ=S△PDQ=PDQD==；

②當(dāng)時(shí)，如圖4，由（2）可知，PM=PC=4-t，∴EM=t-（4-t）=2t－4．∵AC∥PQ，∴△EMN∽△EPQ，∴ ．∵S△EPQ=S△PDQ=PDQD==，∴ ，∴S==-=．

綜上所述：S=

（3）如圖，設(shè)切點(diǎn)為H，作PG⊥AC于G，連接HO并延長(zhǎng)交PQ于F．

設(shè)CP＝5x，則PG＝3x，PD＝PE＝4－5x，

∵OF＝ OP， ∴HF＝OH＋OF＝OP＋OF＝ OP＝ PD＝（ 4－5x ）

∴（ 4－5x ）＝3x，解得：x＝ ，∴CP＝5x＝．