Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△COD．
（1）求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）在（2）中拋物線的對稱軸上取兩點(diǎn)E、F（點(diǎn)E在點(diǎn)F的上方），且EF=1，使四邊形ACEF的周長最小，求出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：OC=OA=2，OD=OB=4，得出C點(diǎn)的坐標(biāo)以及D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法求出即可；
（3）拋物線y=-

1

2

x2+x+4的對稱軸為x=1，將點(diǎn)A向上平移至A₁（-2，1），則AF=A₁E，作A₁關(guān)于對稱軸x=1的對稱點(diǎn)A₂（4，1），連接A₂C，A₂C與對稱軸交于點(diǎn)E，E為所求．

解答：解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：OC=OA=2，OD=OB=4
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，2），D點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，0），

（2）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
由題意，得

4a-2b+c=0               c=4 16a+4b+c=0

，
解得a=-

1

2

，b=1，c=4，
∴所求拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+x+4；

（3）只需求AF+CE最短，
拋物線y=-

1

2

x2+x+4的對稱軸為x=1，
將點(diǎn)A向上平移至A₁（-2，1），則AF=A₁E，
作A₁關(guān)于對稱軸x=1的對稱點(diǎn)A₂（4，1），
連接A₂C，A₂C與對稱軸交于點(diǎn)E，E為所求，
可求得A₂C的解析式為y=-

1

4

x+2，
當(dāng)x=1時(shí)，y=

7

4

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，

7

4

)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，

3

4

)．

點(diǎn)評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及軸對稱的應(yīng)用，此題比較典型也比較基礎(chǔ)，使四邊形ACEF的周長最小，即求AF+CE最短，是解決問題的關(guān)鍵．