【題目】如圖①:在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=ADC=90°,E、F分別是BC,CD上的點,且∠EAF=60°,探究圖中線段BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系。
(1)小王同學(xué)探究此問題的方法是:延長FD到點G,使DG=BE,連接AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,即可得出BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系,他的結(jié)論應(yīng)是____________。
象上面這樣有公共頂點,銳角等于較大角的一半,且組成這個較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型。
(2)拓展 如圖②,若在四邊形ABCD中,,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分別是BC,CD上的點,且∠EAF=∠BAD,則BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是________________。
請證明你的結(jié)論。
(3)實際應(yīng)用 如圖③,在某次軍事演習(xí)中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西35°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東75°的B處,,且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后,艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進,艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里小時的速度前進,1.2小時后,指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E,F(xiàn)處,且兩艦艇之間的夾角為65°,試求此時兩艦艇之間的距離是_____________海里 (直接寫出答案)。
【答案】(1)EF=BE+FD ;(2) EF=BE+FD;(3)168海里
【解析】
(1)延長FD到點G.使DG=BE.連結(jié)AG,即可證明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再證明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解題;
(2)延長FD到點G.使DG=BE.連結(jié)AG,即可證明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再證明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解題;
(3)連接EF,延長AE、BF相交于點C,然后與(2)同理可證.
(1)EF=BE+DF,證明如下:
在△ABE和△ADG中,
,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF;
故答案為 EF=BE+DF.
(2)結(jié)論EF=BE+DF仍然成立;
理由:延長FD到點G.使DG=BE.連結(jié)AG,如圖②,
在△ABE和△ADG中,
,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF;
(3)如圖③,連接EF,延長AE、BF相交于點C,
∵∠AOB=35°+90°+(90°﹣75°)=130°,∠EOF=65°,
∴∠EOF=∠AOB,
又∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90°﹣35°)+(75°+50°)=180°,
∴符合探索延伸中的條件,
∴結(jié)論EF=AE+BF成立,
即EF=1.2×(60+80)=168海里.
答:此時兩艦艇之間的距離是168海里.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,點P為BC邊中點,直線a繞頂點A旋轉(zhuǎn),若點B,P在直線a的異側(cè),BM⊥直線a于點M.CN⊥直線a于點N,連接PM,PN.
(1)延長MP交CN于點E(如圖2).
①求證:△BPM≌△CPE;
②求證:PM=PN;
(2)若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時,點B,P在直線a的同側(cè),其它條件不變,此時PM=PN還成立嗎?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由;
(3)若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時,其它條件不變,請直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時PM=PN還成立嗎?不必說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在⊙O中,半徑OA垂直于弦BC,垂足為E,點D在CA的延長線上,若∠DAB+
∠AOB=60°
(1)求∠AOB的度數(shù);
(2)若AE=1,求BC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市某中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD,如圖所示,為了綠化環(huán)境,學(xué)校計劃在空地上種植草皮,經(jīng)測量∠A=90°,AB=3m,DA=4m,BC=12m,CD=13m.
(1)求出空地ABCD的面積.
(2)若每種植1平方米草皮需要200元,問總共需投入多少元?
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【題目】如圖:在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,DE⊥AC于E,DF⊥AB于F,且FB=CE,則下列結(jié)論:①DE=DF,②AE=AF,③BD=CD,④AD⊥BC。
其中正確的有___________ (填序號)。
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【題目】一次函數(shù)y=kx+b圖象經(jīng)過點(1,3)和(4,6)
①試求與;
②畫出這個一次函數(shù)圖象;
③這個一次函數(shù)與y軸交點坐標(biāo)是( )
④當(dāng)x 時,y<0.
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【題目】根據(jù)如表回答下列問題:
x | 16.2 | 16.3 | 16.4 | 16.5 | 16.6 | 16.7 | 16.8 | 16.9 | 17.0 |
x2 | 262.44 | 265.69 | 268.96 | 272.25 | 275.56 | 278.89 | 282.24 | 285.61 | 289 |
(1)275.56的平方根是______ ;
(2)= ______ ;
(3)查看上表, << .
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【題目】如圖,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,C點坐標(biāo)為(﹣3,0),A點坐標(biāo)為(﹣8,4),則B點的坐標(biāo)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知A(2 ,2)、B(2 ,1),將△AOB繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn),使點A旋轉(zhuǎn)到點A′(﹣2 ,2 )的位置,則圖中陰影部分的面積為 .
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