Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOBC的邊長(zhǎng)為AO=6，AC=8，

（1）如圖①，E是OB的中點(diǎn)，將△AOE沿AE折疊后得到△AFE，點(diǎn)F在矩形AOBC內(nèi)部，延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)G．求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（2）定義：若以不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)中的一點(diǎn)為圓心的圓恰好過(guò)另外兩個(gè)點(diǎn)，這樣的圓叫做黃金圓．如圖②，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)A沿線(xiàn)段CA運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒4個(gè)單位的速度由點(diǎn)O向點(diǎn)C沿線(xiàn)段OC運(yùn)動(dòng)；求：當(dāng) PQC三點(diǎn)恰好構(gòu)成黃金圓時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）(8，)；（2），，．

【解析】

試題（1）由折疊對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得DAOE≌DAFE，從而推出DEFG≌DEBG，得到DAOE∽DAEG，因此AE2=AO×AG，在Rt△AOE中，由勾股定理可得AE2=36+16=52，從而得AG=，在Rt△ABM中，由勾股定理可得CG=，從而BG=，得到G的坐標(biāo)為(8，)；（2）分點(diǎn)C為黃金圓的圓心，點(diǎn)P為黃金圓的圓心，點(diǎn)Q為黃金圓的圓心三種情況討論即可.

試題解析：（1）如圖，連接EG，

由題意得：DAOE≌DAFE，∴EFG=OBC=900.

又∵E是OB的中點(diǎn)，∴EG=EG，EF=EB=4．∴DEFG≌DEBG．

∴FEG=BEG，AOB=AEG=900. ∴DAOE∽DAEG，AE2=AO×AG.

又在Rt△AOE中，∵AO=6，OE=4，∴AE2=36+16=52.

∴52=6×AG，AG=.

在Rt△ABM中，由勾股定理可得CG=，∴BG=．

∴G的坐標(biāo)為(8，) .

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，

當(dāng)點(diǎn)C為黃金圓的圓心時(shí)，則CQ=CP，

即：2t=10—4t，得到t=，此時(shí)CP=，AP=，P點(diǎn)坐標(biāo)為．

當(dāng)點(diǎn)P為黃金圓的圓心時(shí)，則PC=PQ，

如圖①，過(guò)點(diǎn)Q作AC的垂線(xiàn)交AC于點(diǎn)E，CQ=10—4t，CP=2t．

由三角形相似可知：EQ=CQ=，PE=，

則，化簡(jiǎn)得：，

解得(舍去)．

此時(shí)，AP=，P點(diǎn)坐標(biāo)為．

當(dāng)點(diǎn)Q為黃金圓的圓心時(shí)，則QC=PQ，

如圖②，過(guò)點(diǎn)Q作AC的垂線(xiàn)交AC于點(diǎn)F，CQ=10—4t，CP=2t.

由三角形相似可知：QF=，PF=，

則，整理得．

解得(舍去)．

此時(shí)，AP=，P點(diǎn)坐標(biāo)為．

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為，，．