Question

已知：拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長(OB＜OC)是方程x²－10x＋16＝0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x＝－2．

(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求此拋物線的表達(dá)式；

(3)求△ABC的面積；

(4)若點(diǎn)E是線段AB上的一個動點(diǎn)(與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合)，過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

(5)在(4)的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8 　　∵點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且OB＜OC 　　∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，8) 　　又∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是直線x＝－2 　　∴由拋物線的對稱性可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－6，0) 　　∴A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(－6，0)、B(2，0)、C(0，8) 　　(2)∵點(diǎn)C(0，8)在拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象上 　　∴c＝8，將A(－6，0)、B(2，0)代入表達(dá)式y＝ax2＋bx＋8，得 　　　解得 　　∴所求拋物線的表達(dá)式為y＝－x2－x＋8 　　(3)∵AB＝8，OC＝8 　　∴S△ABC＝×8×8＝32 　　(4)依題意，AE＝m，則BE＝8－m， 　　∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10 　　∵EF∥AC　∴△BEF∽△BAC 　　∴＝　　即＝∴EF＝ 　　過點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG＝sin∠CAB＝ 　　∴＝　∴FG＝·＝8－m 　　∴S＝S△BCE－S△BFE＝(8－m)×8－(8－m)(8－m) 　　＝(8－m)(8－8＋m)＝(8－m)m＝－m2＋4m 　　自變量m的取值范圍是0＜m＜8 　　(5)存在．理由： 　　∵S＝－m2＋4m＝－(m－4)2＋8　　且－＜0， 　　∴當(dāng)m＝4時，S有最大值，S最大值＝8 　　∵m＝4，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(－2，0) 　　∴△BCE為等腰三角形．