Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），四邊形ABCD是正方形．

（1）填空：b= ；

（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ；

（3）點(diǎn)M是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、B除外），在x軸上方是否存在另一個(gè)點(diǎn)N，使得以O、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）b=6;

（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（14，8）；

（3）存在，x軸上方的點(diǎn)N有兩個(gè)，分別為（， ）和（﹣4，3）．

【解析】（1）把（4，0）代入y=x+b即可求得b的值；

（2）過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，證明△OAB≌△EDA，即可求得AE和DE的長(zhǎng)，則D的坐標(biāo)即可求得；

（3）分當(dāng)OM=MB=BN=NO時(shí)；當(dāng)OB=BN=NM=MO=3時(shí)兩種情況進(jìn)行討論．

解：∵直線y=x+b分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），

∴﹣×8+b=0，

解得：b=6，；

（2）如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，

則∠AOB=∠DEA=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90，

∴∠1=∠3，

又∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=DA，

∵在△AOB和△DEA中，

∠1=∠3，∠AOB=∠DEA=90°，AB=DA，

∴△AOB≌△DEA（AAS），

∴OA=DE=8，OB=AE=6，

∴OE=OA+AE=8+6=14，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（14，8）；

（3）存在．

①如圖2，當(dāng)OM=MB=BN=NO時(shí)，四邊形OMBN為菱形．連接NM，交OB于點(diǎn)P，則NM與OB互相垂直平分，

∴OP=OB=3，

∴當(dāng)y=3時(shí)， x+6=3，

解得：x=4，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，3），

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣4，3）．

②如圖3，當(dāng)OB=BN=NM=MO=6時(shí)，四邊形BOMN為菱形．延長(zhǎng)NM交x軸于點(diǎn)P，則MP⊥x軸．

∵點(diǎn)M在直線y=x+6上，

∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a， a+6）（a＞0），

在Rt△OPM中，OP2+PM2=OM2，

即：a2+（a+6）2=62，

整理得： a2﹣9a=0，

∵a＞0，

∴a﹣9=0，

解得：a=，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（， ），

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（， ）．

綜上所述，x軸上方的點(diǎn)N有兩個(gè)，分別為（， ）和（﹣4，3）．

“點(diǎn)睛”此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理以及一元二次方程，主要掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．