【題目】如圖(1),RtAOB中,∠A=90°,AOB=60°,OB=,AOB的平分線OCABC,過O點做與OB垂直的直線ON.動點P從點B出發(fā)沿折線BCCO以每秒1個單位長度的速度向終點O運動,運動時間為t秒,同時動點Q從點C出發(fā)沿折線COON以相同的速度運動,當點P到達點OP、Q同時停止運動.

1)求OC、BC的長;

2)設CPQ的面積為S,求St的函數(shù)關系式;

3)當POCQON上運動時,如圖(2),設PQOA交于點M,當t為何值時,OPM為等腰三角形?求出所有滿足條件的t值.

【答案】1OC=2BC=2;(2St的函數(shù)關系式是:S=;(3)當t時,OPM是等腰三角形.

【解析】整體分析:

1先求出OA,判斷OC=CB,再在Rt△AOC中用勾股定理列方程求解;(2分點PBC上,與點C重合,在CO,與點O重合四種情況分類討論,注意畫出相應的圖形,利用三角形的面積公式和三角形面積的和差關系求解;3因為等腰三角形的腰不確定,所以需要分三種情況討論,利用等腰三角形的性質列方程求解.

1)解:∵∠A=90°AOB=60°,OB=2,

∴∠B=30°,OA=OB=

由勾股定理得:AB=3,

OC平分∠AOB,∴∠AOC=BOC=30°=B,OC=BC

AOC中,AO2+AC2=CO2,()+3OC2=OC2OC=2=BC,

答:OC=2,BC=2

2)解:①當PBC上,QOC上時,0t2,CP=2﹣t,CQ=t

PPHOCH,∴∠HCP=60°,HPC=30°,

CH=CP=2t),HP=2t),

SCPQ=CQ×PH=×t×2t),

S=t2+t

②當t=2時,PC點,QO點,此時,CPQ不存在,

S=0,

③當POC上,QON上時2t4,

<>PPGONG,過CCZONZ,

CO=2,NOC=60°,CZ=CP=t2,OQ=t2NOC=60°,

∴∠GPO=30°OG=OP=4t),PG=4t),

SCPQ=SCOQSOPQ=×t2××t2×4t),

S=t2t+

④當t=4時,PO點,QON上,如圖(3

CCMOBM,CKONK,

∵∠B=30°,由(1)知BC=2,CM=BC=1,

有勾股定理得:BM=,

OB=2,OM=2==CK,S=PQ×CK=×2×=;

綜合上述:St的函數(shù)關系式是:S=

3)解:如圖(2),ONOB,∴∠NOB=90°

∵∠B=30°,A=90°,∴∠AOB=60°,

OC平分∠AOB∴∠AOC=BOC=30°,∴∠NOC=90°﹣30°=60°,

OM=PM時,∠MOP=MPO=30°,

∴∠PQO=180°﹣QOP﹣MPO=90°,

OP=2OQ,2t2=4t解得:t=,

PM=OP時,∠PMO=MOP=30°

∴∠MPO=120°,∵∠QOP=60°∴此時不存在;

OM=OP時,過PPGONGOP=4﹣t,QOP=60°

∴∠OPG=30°,GO=4t),PG=4t),

∵∠AOC=30°,OM=OP,∴∠OPM=OMP=75°,

∴∠PQO=180°QOPQPO=45°,PG=QG=4t),

OG+QG=OQ, 4t+4t=t2,解得:t=

綜合上述:當t時,OPM是等腰三角形.

練習冊系列答案
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次數(shù)

60≤x<90

90≤x<120

120≤x<150

150≤x<180

180≤x<210

頻數(shù)

16

25

9

7

3

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(3)在點P的運動過程中
①當MP=4時,取四邊形ACDE一邊的兩端點和線段MP上一點Q,若以這三點為頂點的三角形是直角三角形,且Q為銳角頂點,求所有滿足條件的MQ的值;
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