【題目】在ABCD中,點B關(guān)于AD的對稱點為B′,連接AB′,CB′,CB′交AD于F點.
(1)如圖1,∠ABC=90°,求證:F為CB′的中點;
(2)小宇通過觀察、實驗、提出猜想:如圖2,在點B繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中,點F始終為CB′的中點.小宇把這個猜想與同學們進行交流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法:
想法1:過點B′作B′G∥CD交AD于G點,只需證三角形全等;
想法2:連接BB′交AD于H點,只需證H為BB′的中點;
想法3:連接BB′,BF,只需證∠B′BC=90°.
…
請你參考上面的想法,證明F為CB′的中點.(一種方法即可)
(3)如圖3,當∠ABC=135°時,AB′,CD的延長線相交于點E,求 的值.
【答案】
(1)
解:證明:
∵四邊形ABCD為平行四邊形,∠ABC=90°,
∴□ABCD為矩形,AB=CD,
∴∠D=∠BAD=90°,
∵B,B′關(guān)于AD對稱,
∴∠B′AD=∠BAD=90°,AB=AB′,
∴∠B′AD=∠D,
∵∠AFB′=∠CFD,
在△AFB′與△CFD中, ,
∴△AFB′≌△CFD(AAS),
∴FB′=FC,
∴F是CB′的中點
(2)
解:證明:
方法1:如圖2,
過點B′作B′G∥CD交AD于點G,
∵B,B′關(guān)于AD對稱,
∴∠1=∠2,AB=AB′,
∵B′G∥CD,AB∥CD,
∴B′G∥AB.
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴B′A=B′G,
∵AB=CD,AB=AB′,
∴B′G=CD,
∵B′G∥CD,
∴∠4=∠D,
∵∠B′FG=∠CFD,
在△B′FG與△CFD中 ,
∴△B′FG≌△CFD(AAS),
∴FB′=FC,
∴F是CB′的中點;
方法2:連接BB′交直線AD于H點,
∵B,B′關(guān)于AD對稱,
∴AD是線段B′B的垂直平分線,
∴B′H=HB,
∵AD∥BC,
∴ = =1,
∴FB′=FC.
∴F是CB′的中點;
方法3:連接BB′,BF,
∵B,B′關(guān)于AD對稱,
∴AD是線段B′B的垂直平分線,
∴B′F=FB,
∴∠1=∠2,
∵AD∥BC,
∴B′B⊥BC,
∴∠B′BC=90°,
∴∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°,
∴∠3=∠4,
∴FB=FC,
∴B′F=FB=FC,
∴F是CB′的中點;
(3)
解:取B′E的中點G,連結(jié)GF,
∵由(2)得,F(xiàn)為CB′的中點,
∴FG∥CE,F(xiàn)G= CE,
∵∠ABC=135°,□ABCD中,AD∥BC,
∴∠BAD=180°﹣∠ABC=45°,
∴由對稱性,∠EAD=∠BAD=45°,
∵FG∥CE,AB∥CD,
∴FG∥AB,
∴∠GFA=∠FAB=45°,
∴∠FGA=90°,GA=GF,
∴FG=sin∠EADAF= AF,
∴由①,②可得 = .
【解析】(1)證明:根據(jù)已知條件得到□ABCD為矩形,AB=CD,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠D=∠BAD=90°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;(2)方法1:如圖2,過點B′作B′G∥CD交AD于點G,由軸對稱的性質(zhì)得到∠1=∠2,AB=AB′,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠2=∠3,∠1=∠3,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠4=∠D,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;方法2:連接BB′交直線AD于H點,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到B′H=HB,由平行線分線段成比例定理得到結(jié)論;方法3:連接BB′,BF,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到AD是線段B′B的垂直平分線,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到B′F=FB,得到∠1=∠2,由平行線的性質(zhì)得到∠B′BC=90°,根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠3=∠4,于是得到結(jié)論;(3)取B′E的中點G,連結(jié)GF,由(2)得,F(xiàn)為CB′的中點,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAD=180°﹣∠ABC=45°,由對稱性的性質(zhì)得到∠EAD=∠BAD=45°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠GFA=∠FAB=45°,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.
【考點精析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等;對應角相等,對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形才能正確解答此題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形MNPQ中,動點R從點N出發(fā),沿著N→P→Q→M方向運動至點M處停下,設點R運動的路程為x,△MNR的面積為y,如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示,則下列說法不正確的是( )
A.當x=2時,y=5
B.矩形MNPQ的面積是20
C.當x=6時,y=10
D.當y= 時,x=3
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直線AB上任取一點O,過點O作射線OC、OD,使∠COD=100°,當∠AOC=30°時,∠BOD的度數(shù)是( )
A. 50° B. 80° C. 80°或150° D. 50°或110°
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】把正整數(shù)1,2,3,4,…排列成如圖所示的一個表.
(1)用一正方形在表中隨意框住4個數(shù),把其中最大的數(shù)記為x,另三個數(shù)用含x的式子表示出來,從大到小依次是 , , ;
(2)在(1)的前提下,當被框住的4個數(shù)之和等于984時,x位于該表的第幾行第幾列?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,D是BC的中點,過D點的直線GF交AC于F,交AC的平行線BG于G點,DE⊥DF,交AB于點E,連結(jié)EG、EF.
(1)求證:BG=CF.
(2)請你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)是2,方差是,那么另一組數(shù)據(jù)3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣2,3x4﹣2,3x5﹣2的平均數(shù)和方差分別是( 。
A. 2, B. 2,1 C. 4, D. 4,3
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某工廠接受了20天內(nèi)生產(chǎn)1200臺GH型電子產(chǎn)品的總?cè)蝿眨阎颗_GH型產(chǎn)品由4個G型裝置和3個H型裝置配套組成.工廠現(xiàn)有80名工人,每個工人每天能加工6個G型裝置或3個H型裝置.工廠將所有工人分成兩組同時開始加工,每組分別加工一種裝置,并要求每天加工的G、H型裝置數(shù)量正好組成GH型產(chǎn)品.
(1)按照這樣的生產(chǎn)方式,工廠每天能配套組成多少套GH型電子產(chǎn)品?
(2)工廠補充10名新工人,這些新工人只能獨立進行G型裝置的加工,且每人每天只能加工4個G型裝置,則補充新工人后每天能配套生產(chǎn)多少產(chǎn)品?
(3)為了在規(guī)定期限內(nèi)完成總?cè)蝿,請問至少需要補充多少名(2)中的新工人才能在規(guī)定期內(nèi)完成總?cè)蝿眨?/span>
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,銳角三角形 ABC 和銳角三角形 A'B'C'中,AD、A'D'分別是邊 BC、B'C'上的高,且AB=A'B',AD=A'D'.要使△ABC≌△A'B'C',則應補充條件:________(填寫一個即可)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在數(shù)軸上,點O為原點,點A表示的數(shù)為a,點B表示的數(shù)為b,且a,b滿足
,B兩點對應的數(shù)分別為______,______;
若將數(shù)軸折疊,使得A點與B點重合,則原點O與數(shù)______表示的點重合;
若點A、B分別以4個單位秒和3個單位秒的速度相向而行,則幾秒后A、B兩點相距1個單位長度?
若點A、B以中的速度同時向右運動,點P從原點O以7個單位秒的速度向右運動,是否存在常數(shù)m,使得為定值,若存在,請求出m值以及這個定值;若不存在,請說明理由.
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