Question

已知一元二次方程x²-4x-5=0的兩個實數根為x₁、x₂，且x₁＜x₂．若x₁、x₂分別是拋物線y=-x²+bx+c與x軸的兩個交點A、B的橫坐標（如下圖所示）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線與y軸的交點為C，拋物線的頂點為D，請直接寫出點C、D的坐標并求出四邊形ABDC的面積；
（3）是否存在直線y=kx（k＞0）與線段BD相交且把四邊形ABDC的面積分為相等的兩部分？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
[注：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（）]．

Answer 1

【答案】分析：（1）由方程x²-4x-5=0得方程的兩根，即可得AB的坐標，將其代入函數的解析式可得bc的值，進而可得其解析式；
（2）由（1）求出的解析式，可得CD的坐標，再根據圖形間的關系，可得四邊形ABDC的面積；
（3）假設存在并設出其解析式，易得BD的方程，根據題意中的面積關系，可得關系式，解之有符合條件的解，故存在符合條件的直線．
解答：解：（1）由方程x²-4x-5=0得方程的兩根x₁=-1，x₂=5．
所以A、B的坐標分別為A（-1，0）、B（5，0）．（1分）
把A（-1，0）、B（5，0）代入y=-x²+bx+c
得
解得（2分）
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x+5．（3分）

（2）C（0，5）、D（2，9）．（5分）
如圖所示，過D作DE⊥x軸于點E，則
S_{四邊形ACDB}=S_△AOC+S_{四邊形OCDE}+S_△EDB
=（6分）
=
=16+14
=30．（7分）

（3）存在滿足條件的直線．（8分）
設過B、D兩點的直線解析式為y=k₁x+d，
把B（5，0）、D（2，9）代入y=k₁x+d
得（9分）
解得
∴直線BD的解析式為y=-3x+15．（10分）
設y=kx與y=-3x+15的交點為F（m，n），作直線OF，
則S_△OBF=S_{四邊形ABDC}，即OB×n=15，
∴×5n=15，
∴n=6．
又∵點F（m，6）在y=-3x+15上，
∴6=-3m+15．
∴m=3．
∴點F（3，6）．（11分）
把點F（3，6）代入y=kx，
得6=3k，即k=2．（12分）
點評：本題考查學生將二次函數的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力．