Question

【題目】【探究證明】某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對(duì)矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究，提出下列問(wèn)題，請(qǐng)你給出證明．
（1）某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對(duì)矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究，提出下列問(wèn)題，請(qǐng)你給出證明．
如圖1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH分別交AD，BC于點(diǎn)G，H．求證： = ；

（2）【結(jié)論應(yīng)用】如圖2，在滿足（1）的條件下，又AM⊥BN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上，若 = ，則 的值為；

（3）【聯(lián)系拓展】如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AB上，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：過(guò)點(diǎn)A作AP∥EF，交CD于P，過(guò)點(diǎn)B作BQ∥GH，交AD于Q，如圖1，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．

∴四邊形AEFP、四邊形BHGQ都是平行四邊形，

∴AP=EF，GH=BQ．

又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，

∴∠QAT+∠AQT=90°．

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，

∴∠DAP+∠DPA=90°，

∴∠AQT=∠DPA．

∴△PDA∽△QAB，

∴ = ，

∴ = ；

（2）
（3）解：過(guò)點(diǎn)D作平行于AB的直線，交過(guò)點(diǎn)A平行于BC的直線于R，交BC的延長(zhǎng)線于S，如圖3，

則四邊形ABSR是平行四邊形．

∵∠ABC=90°，∴ABSR是矩形，

∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．

∵AM⊥DN，

∴由（1）中的結(jié)論可得 = ．

設(shè)SC=x，DS=y，則AR=BS=5+x，RD=10﹣y，

∴在Rt△CSD中，x2+y2=25①，

在Rt△ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2=100②，

由②﹣①得x=2y﹣5③，

解方程組 ，得

（舍去），或 ，

∴AR=5+x=8，

∴ = = = ．

【解析】（2）解：如圖2，

∵EF⊥GH，AM⊥BN，

∴由（1）中的結(jié)論可得 = ， = ，

∴ = = ．

所以答案是 ；

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念和平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．