【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,矩形 ABCO,B點坐標為(4,3),拋物線y=
經(jīng)過矩形ABCO的頂點 B 、C ,D為BC的中點,直線 AD y軸交 E點,與拋物線 交于第四象限的 F點.
(1)求該拋物線解析式與F點坐標;
(2)如圖2,動點P從點C出發(fā),沿線段 CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動;同時,動點M從 A出發(fā),沿線 AE以每秒 個單位長度的速度向終點E運動.過點P作PH ⊥OA,垂足為H ,連接 MP ,MH .設(shè)點 P 的運動時間 t秒.
①問EP+ PH+ HF是否有最小值?如果有,求出t的值;如果沒有,請說明理由.
②若△PMH是等腰三角形,請直接寫出此時t的值.
【答案】
(1)解:∵矩形ABCO中點B的坐標為(4,3),
∴點C(0,3),
∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過矩形ABCO的頂點B、C,
∴,
解得:,
∴拋物線的解析式為:y=x2+2x+3 ①,
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+m,
∵A(4,0),D(2,3),
∴,
解得:,
∴直線AD的解析式為y=x+6 ②,
聯(lián)立①②兩式,且點F在第四象限,
∴點F(6,-3)
(2)解:①如圖(1):
∵E(0,6),
∴CE=CO,
連接CF交x軸于H',過點H'作H'P'⊥BC與點P',
當P運動到P',當H運動到H'時,EP+ PH+ HF的值最小.
設(shè)直線CF的解析式為y=kx+b,
∵C(0,3),F(xiàn)(6,-3),
∴,
解得:,
∴y=-x+3,
∴H'(3,0)
∴CP=3,
∴t=3.
②如圖1:過點M作MN⊥OA于點N,
∵AMNAEO,
∴,
即:,
∴AN=t,MN=t,
(I)如圖3,當PM=HM時,點M在PH的垂直平分線上,
∴MN=PH,
∴MN=t=,
∴t=1;
(II)如圖1,當HM=HP時,MH=3,MN=t,
HN=OA-AN-OH=4-2t,
在RtHMN中,MN2+HN2=MH2,
∴(t)2+(4-2t)2=32,
解得:t1=2(舍去),t2=;
(III)如圖2,圖4,當PH=PM時,
∵PM=3,MT=|3-t|,PT=BC-CP-BT=|4-2t|,
∴在RtPMT中,MT2+PT2=PM2,
即:(3-t)2+(4-2t)2=32,
解得:t1=,t2=;
綜上,t=1,t=,t=,t=.
【解析】(1)由矩形的性質(zhì)可求出點C的坐標,用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式,再根據(jù)點A和點D的坐標,用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式,再聯(lián)立二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式即可求出點F的坐標;(2)①根據(jù)題意作出輔助線,當P運動到P',當H運動到H'時,EP+ PH+ HF的值最小;②根據(jù)題意作出輔助線,再分情況討論,求出t的值即可.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們在過去的學(xué)習中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了如下的運算規(guī)律:
(1)15×15=1×2×100+25=225;
(2)25×25=2×3×100+25=625;
(3)35×35=3×4×100+25=1225;
……
按照這種規(guī)律,第n個式子可以表示為
A. n×n=×(+1)×100+25=n2
B. n×n=×(+1)×100+25=n2
C. (n+5)×(n+5)=n×(n+1)×100+25=n2+10n+25
D. (10n+5)×(10n+5)=n×(n+l)×l00+25=100n2+100n+25
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【探究證明】某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進行探究,提出下列問題,請你給出證明.
(1)某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進行探究,提出下列問題,請你給出證明.
如圖1,矩形ABCD中,EF⊥GH,EF分別交AB,CD于點E,F(xiàn),GH分別交AD,BC于點G,H.求證: = ;
(2)【結(jié)論應(yīng)用】如圖2,在滿足(1)的條件下,又AM⊥BN,點M,N分別在邊BC,CD上,若 = ,則 的值為;
(3)【聯(lián)系拓展】如圖3,四邊形ABCD中,∠ABC=90°,AB=AD=10,BC=CD=5,AM⊥DN,點M,N分別在邊BC,AB上,求 的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,點C與點A關(guān)于y軸對稱.
(1)求直線BC的函數(shù)表達式;
(2)設(shè)點M是x軸上的一個動點,過點M作y軸的平行線,交直線AB于點P,交直線BC于點Q,連接BM.
①若∠MBC=90°,求點P的坐標;
②若△PQB的面積為,請直接寫出點M的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在等腰△ABC 中,AB=AC=10,BC=16.
(1)若將△ABC 的腰不變,底變?yōu)?/span> 12,甲同學(xué)說,這兩個等腰三角形面積相等;乙同學(xué)說,腰不變,底變化,這兩個三角形面積必不相等,請對甲、乙兩種說法做出判斷,并說明理由;
(2)已知△ABC 底邊上高增加 x,腰長增加(x﹣2)時,底卻保持不變,請確定 x 的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題解決:如圖1,在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)與x軸交于點A,與y軸交于點B,以AB為腰在第二象限作等腰直角,,點A、B的坐標分別為A______、B______.
求中點C的坐標.小明同學(xué)為了解決這個問題,提出了以下想法:過點C向x軸作垂線交x軸于點請你借助小明的思路,求出點C的坐標;
類比探究:數(shù)學(xué)老師表揚了小明同學(xué)的方法,然后提出了一個新的問題,如圖2,在平面直角坐標系xOy中,點A坐標,點B坐標,過點B作x軸垂線l,點P是l上一動點,點D是在一次函數(shù)圖象上一動點,若是以點D為直角頂點的等腰直角三角形,請直接寫出點D與點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】王老師在公園道一號購買了一套經(jīng)濟適用房,他準備將地面鋪上地磚,地面結(jié)構(gòu)如圖所示,根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)(單位:m),解答下列問題:
(1)用含x的代數(shù)式表示地面總面積
(2)當x=3時,若鋪1m2地磚的平均費用為100元, 那么王老師要將全部地面鋪地磚,總費用為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將一盛有部分水的圓柱形小水杯放入事先沒有水的大圓柱形容器內(nèi),現(xiàn)用一注水管沿大容器內(nèi)壁勻速注水(如圖所示),則小水杯內(nèi)水面的高度h(cm)與注水時間t(min)的函數(shù)圖象大致為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖,PA、PB分別與⊙O相切于點A、B,點M在PB上,且OM∥AP,MN⊥AP,垂足為N.
(1)求證:OM=AN;
(2)若⊙O的半徑R=3,PA=9,求OM的長.
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