Question

（1）在圖1，2，3中，給出平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)（如圖所示），寫出圖1，2，3中的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，它們分別是（5，2），（

c+e

，

d

），（

c+e-a

，

d

）
（2）在圖4中，給出平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)（如圖所示），求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)（

c+e-a

，

d+f-b

）（C點(diǎn)坐標(biāo)用含a，b，c，d，e，f的代數(shù)式表示）
歸納與發(fā)現(xiàn)
（3）通過(guò)對(duì)圖1，2，3，4的觀察和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)的探究，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：無(wú)論平行四邊形ABCD處于直角坐標(biāo)系中哪個(gè)位置，當(dāng)其頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f），（如圖4）時(shí)，則四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)a，c，m，e之間的等量關(guān)系為

c+e=a+m

； 縱坐標(biāo)b，d，n，f之間的等量關(guān)系為

b+n=d+f

（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等，得出圖2，3中頂點(diǎn)C的坐標(biāo)分別是（e+c，d），（c+e-a，d）；
（2）分別過(guò)點(diǎn)A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為A₁，B₁，C₁，D₁，分別過(guò)A，D作AE⊥BB₁于E，DF⊥CC₁于點(diǎn)F．在平行四邊形ABCD中，CD=BA，根據(jù)內(nèi)角和定理，又∵BB₁∥CC₁，可推出∠EBA=∠FCD，△BEA≌△CFD．依題意得出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．設(shè)C（x，y）．由e-x=a-c，得x=e+c-a．由y-f=d-b，得y=f+d-b．繼而推出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（3）在平行四邊形ABCD中，CD=BA，同理證明△BEA≌△CFD（同（2）證明）．然后推出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．又已知C點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），e-m=a-c，故m=e+c-a．由n-f=d-b，得出n=f+d-b．

解答：解：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等，
得出圖1、圖2，3中頂點(diǎn)C的坐標(biāo)分別是：（5，2）、（e+c，d），（c+e-a，d）．
故答案為：（5，2）、（e+c，d），（c+e-a，d）．

（2）分別過(guò)點(diǎn)A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為A₁，B₁，C₁，D₁，
分別過(guò)A，D作AE⊥BB₁于E，DF⊥CC₁于點(diǎn)F．
在平行四邊形ABCD中，CD=BA，
又∵BB₁∥CC₁，
∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度．
∴∠EBA=∠FCD．
又∵∠BEA=∠CFD=90°，
∴△BEA≌△CFD．
∴AE=DF=a-c，BE=CF=d-b．
設(shè)C（x，y）．
由e-x=a-c，得x=e+c-a．
由y-f=d-b，得y=f+d-b．
∴C（e+c-a，f+d-b）．
（3）m=c+e-a，n=d+f-b或m+a=c+e，n+b=d+f．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)．理解平行四邊形的特點(diǎn)結(jié)合平面直角坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵．