Question

如圖，AB是半圓O的直徑，C為半圓上一點(diǎn)，∠CAB的角平分線AE交BC于點(diǎn)D，交半圓O于點(diǎn)E．若AB=10，tan∠CAB=，求線段BC和CD的長．

Answer 1

解：∵AB是半圓O的直徑，
∴∠C=90°．
∵tan∠CAB=，
∴．
設(shè)AC=4k，BC=3k，
∵AC²+BC²=AB²，AB=10，
∴（4k）²+（3k）²=100．
∴k₁=2，k₂=-2（舍去）．
∴AC=8，BC=6．
過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，
∵AD是∠CAB的角平分線，
∴CD=DF．
∵∠DFB=∠ACB=90°，∠DBF=∠ABC，
∴△DBF∽△ABC．
∴．
即．
∴CD=．
分析：根據(jù)圓周角定理及三角函數(shù)可求得AC與BC的長，再根據(jù)角的平分線的性質(zhì)及相似三角形的判定得到△DBF∽△ABC．由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得CD的值．
點(diǎn)評：此題主要考查圓周角定理，角直角三角形及相似三角形的判定方法等知識的綜合運(yùn)用．