Question

如圖，已知正比例函數(shù)y=

1

2

x與反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4．

（1）求k的值；
（2）根據(jù)圖象直接寫出正比例函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時(shí)x的取值范圍；
（3）過原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線y=

k

x

（k＞0）于P、Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)A、P、B、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：

分析：（1）先將x=4代入正比例函數(shù)y=

1

2

x，可得出y=2，求得點(diǎn)A（4，2），再根據(jù)點(diǎn)A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得出B點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出k的值；
（2）正比例函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值即正比例函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象下方，根據(jù)圖形可知在交點(diǎn)的右邊正比例函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值．
（3）由于雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形，因此以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形應(yīng)該是平行四邊形，那么△POA的面積就應(yīng)該是四邊形面積的四分之一即6．可根據(jù)雙曲線的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出△POA的面積，由于△POA的面積為6，由此可得出關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：（1）∵點(diǎn)A在正比例函數(shù)y=

1

2

x上，
∴把x=4代入正比例函數(shù)y=

1

2

x，
解得y=2，∴點(diǎn)A（4，2），
∵點(diǎn)A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-2），
把點(diǎn)A（4，2）代入反比例函數(shù)y=

k

x

，得k=8，
（2）由交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖象直接寫出正比例函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時(shí)x的取值范圍，-4＜x＜0或x＞2；
（3）∵反比例函數(shù)圖象是關(guān)于原點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四邊形APBQ是平行四邊形，
∴S_△POA=S_{平行四邊形APBQ×}

1

4

=

1

4

×24=6，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0且m≠4），
得P（m，

8

m

），
過點(diǎn)P、A分別做x軸的垂線，垂足為E、F，
∵點(diǎn)P、A在雙曲線上，
∴S_△POE=S_△AOF=4，
若0＜m＜4，如圖，
∵S_△POE+S_梯形PEFA=S_△POA+S_△AOF，
∴S_梯形PEFA=S_△POA=6．
∴

1

2

（2+

8

m

）•（4-m）=6．
∴m₁=2，m₂=-8（舍去），
∴P（2，4）；

若m＞4，如圖，
∵S_△AOF+S_梯形AFEP=S_△AOP+S_△POE，
∴S_梯形PEFA=S_△POA=6．
∴

1

2

（2+

8

m

）•（m-4）=6，
解得m₁=8，m₂=-2（舍去），
∴P（8，1）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（2，4）或P（8，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)y=

k

x

中k的幾何意義．這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．利用數(shù)形結(jié)合的思想，求得三角形的面積．