Question

如圖，在半徑為2

3

的扇形AOB中，∠AOB=120°，點C是弧AB上的一個動點（不與點A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．
（1）當BC=4時，求線段OD的長；
（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,三角形中位線定理

專題：

分析：（1）求出BD，根據勾股定理求出OD即可；
（2）過點O作AB的垂直平分線，與AB交于點F，與弧AB交于點M，求出AF，得出AB長度，根據垂徑定理得出D、E分別是BC、AC中點，根據三角形中位線求出即可．

解答：解：（1）∵OD⊥BC，
∴BD=

1

2

BC=2，
∴OD=

BO2-BD2

=

(2 3 )2-22

=2

2

．

（2）存在，DE是不變的，
理由是：如圖，連接AB，
過點O作AB的垂直平分線，與AB交于點F，與弧AB交于點M，
則OM平分∠AOB與弧AB，
∴∠AOF=60°，
在Rt△AOF中，∵∠AOF=60°，OA=2

3

，
∴AF=

3

2

OA=3，
∴AB=2AF=6，
由垂徑定理可知，點D、E分別是BC和CA的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE=

1

2

AB=3．

點評：本題考查了三角形中位線，垂徑定理，勾股定理的應用，題目是一道比較典型的題目，難度適中．