Question

如圖，已知點(diǎn)P是二次函數(shù)y=-x²+3x圖象在y軸右側(cè)部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將直線y=-2x，沿y軸向上平移，分別交x軸，y軸于C、D兩點(diǎn)．CD⊥CP，且CD=2CP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),一次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：設(shè)C（a，0），根據(jù)題意得出D（0，2a），從而求得OC=a，OD=2a，作PE⊥x軸于E，通過(guò)證得△DOC∽△CEP，得出P（2a，

1

2

a），代入y=-x²+3x得到

1

2

a=-（2a）²+3×2a，解得a=

11

8

，從而求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：設(shè)C（a，0），根據(jù)題意D（0，2a），
即OC=a，OD=2a，
作PE⊥x軸于E，
∵CD⊥CP，
∴∠DCO+∠PCE=90°，∠PCE+∠CPE=90°，
∴∠DCO=∠CPE，
∵∠DOC=∠CEP=90°，
∴△DOC∽△CEP，
∴

OD

CE

=

OC

PE

=

CD

CP

=

2

1

，
∴CE=a，PE=

1

2

a，
∴P（2a，

1

2

a），
∵P是二次函數(shù)y=-x²+3x圖象在y軸右側(cè)部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴

1

2

a=-（2a）²+3×2a，解得a=

11

8

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

11

4

，

11

16

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)．關(guān)鍵是利用三角形相似求得P點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的關(guān)系．