Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E，F(xiàn)，給出以下四個結論：
①AE=CF；
②△EPF是等腰直角三角形；
③S_{四邊形AEPF}=

1

2

S_△ABC；
④當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A，B重合），EF的最小值等于BC的一半．
上述結論中始終正確的有（　　）

• A、①④
• B、①②
• C、①②③
• D、①②③④

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：

分析：利用旋轉的思想觀察全等三角形，尋找條件證明三角形全等．根據(jù)全等三角形的性質對題中的結論逐一判斷．

解答：解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠1=∠2，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點，
∴AP=CP，
在△APE與△CPF中，

∠3=∠4 AP=CP ∠1=∠2

，
∴△APE≌△CPF（ASA），
同理可證△APF≌△BPE，
①由△APE≌△CPF得到AE=CF，故①正確；
②由△APE≌△CPF得到PE=PF，
∵∠EPF是直角，
∴△EPF是等腰直角三角形，故②正確；
③由△APE≌△CPF得到S_△APE=S_△CPF，則S_{四邊形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△CPF+S_△APF=

1

2

S_△ABC，故③正確；
④∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴AB=

2

2

BC，
由②知，△EPF是等腰直角三角形，則EF=

2

EP．當EP⊥AB時，EP去最小值，此時EP=

1

2

AB，則EF_最小值=

2

2

AB=

2

2

•

2

2

BC=

1

2

BC．故④正確；
綜上所述，正確的結論是①②③④，共有4個．
故選D．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，涉及到等腰三角形和直角三角形的性質，難度適中．