【題目】已知:如圖,△ABC是等邊三角形,延長AC到E,C為線段AE上的一動點(不與點A、E重合),在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連接PQ,OC. 以下五個結論:①AD=BE;②AP=BO;③PQ//AE;④∠AOB=60°;⑤OC平分∠AOE;結論正確的有_________(把你認為正確的序號都填上)
【答案】①③④⑤
【解析】
根據(jù)等邊三角形的三邊都相等,三個角都是60°,可以證明△ACD△BCE,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AD=BE,所以①正確;
由△ACD△BCE得∠CAD=∠CBE,加上∠BCA=∠DCE=60°,AC=BC,得到△ACP△BCQ(ASA),所以AP=BO,故②錯誤;
根據(jù)△ACP△BCQ,再根據(jù)PC=QC,推出△PCQ是等邊三角形,又由∠ACB=∠CPQ,根據(jù)內(nèi)錯角相等,兩直線平行,故③正確;
利用等邊三角形的性質(zhì),BC//DE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO,于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.故④正確;
根據(jù)三角形面積公式求出CN=CM,根據(jù)角平分線性質(zhì)即可判斷⑤.
①∵正三角形ABC和正三角形CDE,
∴BC=AC,DE=DC=CE,∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD△BCE(SAS),
∴AD=BE;故①正確.
②∵△ACD△BCE(已證),
∴∠CAD=∠CBE,
∵∠BCA=∠DCE=60°(已證),
∴=60°,
∴∠ACB=∠BCQ=60°,
在△ACP和△BCQ中,
,
∴△ACP△BCQ(ASA),
∴AP=BO,
故②錯誤.
③∵△ACP△BCQ(已證),
∴PC=QC,
∴△PCQ是等邊三角形.
∴∠CPQ=60°,
∴∠ACB=∠CPQ,
∴PQ//AE,
故③正確.
④∵∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=60°,
在正三角形CDE中,
∠DEC =60°=∠BCD,
∴ BC//DE,
∴∠CBE=∠DEO,
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.
故④正確.
⑤過C作于M,于N,
∵△ACD△BCE,
∴,BE=AD,
∴
∴CM=CN,
∴OC平分∠AOE,故⑤正確;
故答案為①③④⑤.
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【題目】如圖,△ABC 是等邊三角形,BD 是 AC 邊上的高,延長 BC 到 E使 CE=CD,則圖中等腰三角形的個數(shù)是()
A.1 個B.2 個C.3 個D.4 個
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的圓交AC于點D,交BC于點E,延長AE至點F,使EF=AE,連接FB,F(xiàn)C.
(1)求證:四邊形ABFC是菱形;
(2)若AD=7,BE=2,求半圓和菱形ABFC的面積.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E,F(xiàn).
(1)求證:△ABE≌△CDF;
(2)若AC與BD交于點O,求證:AO=CO.
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【題目】如圖,直角坐標系內(nèi)的梯形(為原點)中,,,,.
求經(jīng)過,,三點的拋物線的解析式;
延長交拋物線于點,求線段的長;
在的條件下,動點、分別從、同時出發(fā),都以每秒個單位的速度運動,其中點沿由向運動,點沿由由運動(其中一個點運動到終點后,另一個點運動也隨之停止),過點作交于點,連接.設動點運動的時間為秒,請你探索:當時間為何值時,中有一個角是直角.
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【題目】已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,點D為BC的中點.
(1)如圖①,若點E、F分別為AB、AC上的點,且DE⊥DF,求證:BE=AF;
(2)若點E、F分別為AB、CA延長線上的點,且DE⊥DF,那么BE=AF嗎?請利用圖②說明理由.
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【題目】在邊長為4的等邊△ABC中.
(1)如圖1,P,Q是BC邊上的兩點,AP=AQ,∠BAP=18°,求∠AQB的度數(shù);
(2)點P,Q是BC邊上的兩個動點(不與點B,C重合),點P在點Q的左側,且AP=AQ,點Q關于直線AC的對稱點為M,連接AM,PM.依題意將圖2補全,并求證PA=PM.
(3)在(2)中,當AM的值最小時,直接寫出CM的長.
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【題目】拋物線y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示,則下列結論:
①abc>0;②3a+c=0;③當y>0時,﹣3<x<1;④b2>4ac;⑤當y=3時,x只能等于0.
其中正確結論的個數(shù)為( )
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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