Question

【題目】在邊長為4的等邊△ABC中.

(1)如圖1，P，Q是BC邊上的兩點(diǎn)，AP=AQ，∠BAP=18°，求∠AQB的度數(shù)；

(2)點(diǎn)P，Q是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，且AP=AQ，點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為M，連接AM，PM．依題意將圖2補(bǔ)全，并求證PA=PM．

(3)在(2)中，當(dāng)AM的值最小時(shí)，直接寫出CM的長.

Answer 1

【答案】（1）78°；（2）見解析；（3）2．

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠APQ=∠AQP，由鄰補(bǔ)角的定義得到∠APB=∠AQC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）如圖2根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠APQ=∠AQP，由鄰補(bǔ)角的定義得到∠APB=∠AQC，由點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為M，得到AQ=AM，∠OAC=∠MAC，等量代換得到∠MAC=∠BAP，推出△APM是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（3）因?yàn)?/span>AM=AP，所以當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AM的值最小，此時(shí)P、Q重合，由此即可解決問題；

（1）∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴∠APB=∠AQC，

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAP=∠CAQ=18°，
∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=78°；
（2）如圖2，∵點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為M，
∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，
∵∠BAP=∠CAQ，
∴∠MAC=∠BAP，
∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，
∴∠PAM=60°，
∵AP=AQ，
∴AP=AM，
∴△APM是等邊三角形，

∴AP=PM．
（3）∵AM=AP，
∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AM的值最小，
∴此時(shí)P、Q重合，CM=CQ=QB=2．