Question

設(shè)N是一個(gè)正整數(shù)，A是一個(gè)2N位數(shù)，且每位上的數(shù)均為4，B是一個(gè)N位數(shù)，且每位上的數(shù)均為8．證明：A+2B+4是一個(gè)完全平方數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：完全平方數(shù)

專題：證明題

分析：首先把A、B代入A+2B+4=4×（1…1）（2n個(gè)1）+2×8×（1…1）（n個(gè)1）+4=4×（1…1+4…4+1），只要證明證明表達(dá)式A=（1…1+4…4+1）為完全平方數(shù)即可，先從簡(jiǎn)單的開(kāi)始，找出規(guī)律解決問(wèn)題．

解答：解：由A+2B+4=4×（1…1）（2n個(gè)1）+2×8×（1…1）（n個(gè)1）+4=4×（1…1+4…4+1），
當(dāng)n=1時(shí)，
原式=11+4+1=16=4²；
當(dāng)n=2時(shí)，
原式=1111+44+1=1156=34²；
當(dāng)n=3時(shí)，
原式=111111+444+1=111556=334²；
所以A+2B+4=4×（1…1+4…4+1）=33…34²（n-1個(gè)3）．
也就是A+2B+4是一個(gè)完全平方數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查完全平方式的性質(zhì)，注意從簡(jiǎn)單情形考慮，找出規(guī)律，得出解決問(wèn)題的方法．