Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k與直線y=kx+1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．

（1）如圖1，當(dāng)k=1時(shí)，直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）與x軸交于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），在直線y=kx+1上是否存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°？若存在，請求出此時(shí)k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)k=1時(shí)，拋物線解析式為y=x2﹣1，直線解析式為y=x+1．

聯(lián)立兩個(gè)解析式，得：x2﹣1=x+1，

解得：x=﹣1或x=2，

當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=x+1=0；當(dāng)x=2時(shí)，y=x+1=3，

∴A（﹣1，0），B（2，3）

（2）

解：方法一：

設(shè)P（x，x2﹣1）．

如答圖2所示，過點(diǎn)P作PF∥y軸，交直線AB于點(diǎn)F，則F（x，x+1）．

∴PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．

S△ABP=S△PFA+S△PFB= PF（xF﹣xA）+ PF（xB﹣xF）= PF（xB﹣xA）= PF

∴S△ABP= （﹣x2+x+2）=﹣ （x﹣ ）2+

當(dāng)x= 時(shí)，yP=x2﹣1=﹣ ．

∴△ABP面積最大值為 ，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（ ，﹣ ）

方法二：

過點(diǎn)P作x軸垂線，叫直線AB于F，

設(shè)P（t，t2﹣1），則F（t，t+1）

∴S△ABP= （FY﹣PY）（BX﹣AX），

∴S△ABP= （t+1﹣t2+1）（2+1），

∴S△ABP=﹣ t2+ t+3，

當(dāng)t= 時(shí)，S△ABP有最大值，∴S△ABP=

（3）

解：方法一：

設(shè)直線AB：y=kx+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，

則E（﹣ ，0），F(xiàn)（0，1），OE= ，OF=1．

在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF= = ．

令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．

∴C（﹣k，0），OC=k．

（i）假設(shè)存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°，如答圖3所示，

則以O(shè)C為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)Q，根據(jù)圓周角定理，此時(shí)∠OQC=90°．

設(shè)點(diǎn)N為OC中點(diǎn)，連接NQ，則NQ⊥EF，NQ=CN=ON= ．

∴EN=OE﹣ON= ﹣ ．

∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，

∴△EQN∽△EOF，

∴ ，即： ，

解得：k=± ，

∵k＞0，

∴k= ．

∴存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°，此時(shí)k= ．

(ii)若直線AB過點(diǎn)C時(shí)，此時(shí)直線與圓的交點(diǎn)只有另一點(diǎn)Q點(diǎn)，故亦存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°，

將C（﹣k，0）代入y=kx+1中，

可得k=1，k=﹣1（舍去），

故存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°，此時(shí)k=1．

綜上所述，k= 或1時(shí)，存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°．

方法二：

∵y=x2+（k﹣1）x﹣k，

∴y=（x+k）（x﹣1），

當(dāng)y=0時(shí)，x1=﹣k，x2=1，

∴C（﹣k，0），D（1，0），

點(diǎn)Q在y=kx+1上，設(shè)Q（t，kt+1），O（0，0），

∵∠OQC=90°，∴CQ⊥OQ，∴KCQ×KOQ=﹣1，

∴

∴（k2+1）t2+3kt+1=0有唯一解，

∴△=（3k）2﹣4（k2+1）=0，

∴k1= ，k2=﹣ （k＞0故舍去），∴k=

【解析】方法一：（1）當(dāng)k=1時(shí)，聯(lián)立拋物線與直線的解析式，解方程求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）如答圖2，作輔助線，求出△ABP面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）“存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°”的含義是，以O(shè)C為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)Q，由圓周角定理可知，此時(shí)∠OQC=90°且點(diǎn)Q為唯一．以此為基礎(chǔ)，構(gòu)造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一點(diǎn)是考慮直線AB是否與拋物線交于C點(diǎn)，此時(shí)亦存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°．方法二：（1）聯(lián)立直線與拋物線方程求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)．（2）利用面積公式求出P點(diǎn)坐標(biāo)．（3）列出定點(diǎn)O坐標(biāo)，用參數(shù)表示C，Q點(diǎn)坐標(biāo)，利用黃金法則二求出k的值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．