【題目】問題:如圖(1),點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF45°,試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.

(發(fā)現(xiàn)證明)小聰把ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°ADG,從而發(fā)現(xiàn)EFBE+FD,請(qǐng)你利用圖(1)證明上述結(jié)論.

(類比引申)如圖(2),四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,ABAD,∠B+D180°,點(diǎn)E、F分別在邊BCCD上,則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足   關(guān)系時(shí),仍有EFBE+FD

(探究應(yīng)用)如圖(3),在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知ABAD80米,∠B60°,∠ADC120°,∠BAD150°,道路BC、CD上分別有景點(diǎn)EF,∠EAF75°AEADDF401)米,現(xiàn)要在EF之間修一條筆直道路,求這條道路EF的長(zhǎng)(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù):≈1.41≈1.73

【答案】【發(fā)現(xiàn)證明】見解析;【類比引申】∠BAD2EAF. 【探究應(yīng)用】這條道路EF的長(zhǎng)約為109米.

【解析】

[發(fā)現(xiàn)證明]根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到ADG≌△ABE,則GF=BE+DF,只要再證明AFG≌△AFE即可.

[類比引申]延長(zhǎng)CBM,使BM=DF,連接AM,證ADF≌△ABM,證FAE≌△MAE,即可得出答案;

[探究應(yīng)用]利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得到ABE是等邊三角形,則BE=AB=80米.把ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°ADG,只要再證明∠BAD=2EAF即可得出EF=BE+FD

[發(fā)現(xiàn)證明]根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到ADG≌△ABE,則GFBE+DF,只要再證明AFG≌△AFE即可.

[類比引申]BAD2EAF.如圖(2),延長(zhǎng)CBM,使BMDF,連接AM

ADF≌△ABM,證FAE≌△MAE,即可得出答案;

[探究應(yīng)用]如圖3,把ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°ADG,連接AF

∵∠BAD150°,∠DAE90°,

∴∠BAE60°

又∵∠B60°,

∴△ABE是等邊三角形,

BEAB80米.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到:∠ADG=∠B60°,

又∵∠ADF120°

∴∠GDF180°,即點(diǎn)GCD的延長(zhǎng)線上.

易得,ADG≌△ABE,

AGAE,∠DAG=∠BAEDGBE,

又∵∠EAG=∠BAD150°,∠FAE75°

∴∠GAF=∠FAE,

GAFFAE中,

AGAE,∠GAF=∠FAE,AFAF

∴△AFG≌△AFESAS).

GFEF

又∵DGBE,

GFBE+DF,

EFBE+DF80+401≈109(米),

即這條道路EF的長(zhǎng)約為109米.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,m),且m≠0,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(n,0),將線段AB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90°,分別得到線段B P1,B P2,稱點(diǎn)P1,P2為點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B伴隨點(diǎn),圖1為點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B伴隨點(diǎn)的示意圖.

(1)已知點(diǎn)A(0,4)

①當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為(1,0),(-2,0)時(shí),點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B伴隨點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ;

②點(diǎn)(xy)是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B伴隨點(diǎn),直接寫出yx之間的關(guān)系式;

(2)如圖2,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,0),以C為圓心, 為半徑作圓,若在⊙C上存在點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B伴隨點(diǎn),直接寫出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)m的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】觀察一列數(shù):1,2,4,8,16我們發(fā)現(xiàn),這一列數(shù)從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于2.一般地,如果一列數(shù)從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù),這一列數(shù)就叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)就叫做等比數(shù)列的公比.

(1)等比數(shù)列3-12,48,的第4項(xiàng)是______;

(2)如果一列數(shù)a1,a2a3,a4是等比數(shù)列,且公比為q.那么有:a2=a1q,a3=a2q=(a1q)q=a1q2,a4=a3q=(a1q2)q=a1q3,則a5=_______,an=______(a1q的式子表示)

(3)一個(gè)等比數(shù)列的第2項(xiàng)是9,第4項(xiàng)是36,求它的公比.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知∠BOC2AOC,OD平分∠AOB,∠BOE90°,若∠AOC40°,則∠DOE的度數(shù)等于( 。

A.20°B.25°C.30°D.30°

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)(x>0,0<m<n)的圖象上,對(duì)角線BD//y軸,且BD⊥AC于點(diǎn)P.已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4.

(1)當(dāng)m=4,n=20時(shí).

①若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2,求直線AB的函數(shù)表達(dá)式.

②若點(diǎn)P是BD的中點(diǎn),試判斷四邊形ABCD的形狀,并說明理由.

(2)四邊形ABCD能否成為正方形?若能,求此時(shí)m,n之間的數(shù)量關(guān)系;若不能,試說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀材料:各類方程的解法:求解一元一次方程,根據(jù)等式的基本性質(zhì),把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式.求解二元一次方程組,把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解;類似的,求解三元一次方程組,把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組.求解一元二次方程,把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解.求解分式方程,把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解,由于“去分母”可能產(chǎn)生增根,所以解分式方程必須檢驗(yàn).各類方程的解法不盡相同,但是它們有一個(gè)共同的基本數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化,把未知轉(zhuǎn)化為已知.用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想,我們還可以解一些新的方程.例如,一元三次方程,可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為,可得,所以x=0或x+2=0或x-1=0,所以方程:的解是x1=0,x2=-2,x3=1;

(1)問題:用“轉(zhuǎn)化”思想求方程的解

(2)應(yīng)用:如圖,已知矩形草坪ABCD的長(zhǎng)AD=8m,寬AB=3m,小華把一根長(zhǎng)為10m的繩子的一端固定在點(diǎn)B,沿草坪邊沿BA,AD走到點(diǎn)P處,把長(zhǎng)繩PB段拉直并固定在點(diǎn)P,然后沿草坪邊沿PD、DC走到點(diǎn)C處,把長(zhǎng)繩剩下的一段拉直,長(zhǎng)繩的另一端恰好落在點(diǎn)C.求AP的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)平面內(nèi),為原點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線. 點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,直線為常數(shù))經(jīng)過點(diǎn),且與直線相交于點(diǎn)

1)求的值和點(diǎn)的坐標(biāo);

2)在軸上有一點(diǎn),使的面積為,點(diǎn)的坐標(biāo);

3)在軸的正半軸上是否存在一點(diǎn),使得為等腰三角形,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,現(xiàn)有兩條鄉(xiāng)村公路AB、BC,AB長(zhǎng)為1200米,BC長(zhǎng)為1600,一個(gè)人騎摩托車從A處以20m/s的速度勻速沿公路AB、BCC處行駛;另一人騎自行車從B處以5m/s的速度從BC行駛,并且兩人同時(shí)出發(fā).

1)求經(jīng)過多少秒摩托車追上自行車?

2)求兩人均在行駛途中時(shí),經(jīng)過多少秒兩人在行進(jìn)路線上相距150米?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在以O為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上,反比例函數(shù)x>0)與AB相交于點(diǎn)D,與BC相交于點(diǎn)E,若BD=3AD,且ODE的面積是12,則k=(  )

A. 6 B. 9 C. D.

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