Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+12與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作直線AB的垂線，交x軸正半軸于點(diǎn)C，且線段OC比線段OA長7個(gè)單位．
（1）求直線BC的解析式；
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以4個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB以3個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ，將線段PQ繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到PE，使∠QPE=∠ABO，PE與BC交于點(diǎn)I，過點(diǎn)Q作QD⊥PE于點(diǎn)D，連接BD，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求在運(yùn)動(dòng)過程中線段BD的長；
（3）在（2）的條件下，過PQ的中點(diǎn)F作FH⊥BD，垂足為點(diǎn)H，求t為何值時(shí)，F(xiàn)H=BD．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先證明OAB∽△OBC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求得OC的長（利用k表示），即可列方程求得k的值，則利用待定系數(shù)法求得直線的解析式；
（2）設(shè)F是PQDB所在圓的圓心，則F是PQ的中點(diǎn)，作CD的中垂線MN必過F．再作PG⊥AO，QL⊥OC，F(xiàn)N是梯形GHQP的中位線，即M是BD的中點(diǎn)，N的橫坐標(biāo)可以求得，則BM即可求得，從而求得BD的長；
（3）FN是梯形PGLQ的中位線，且FH=12-FN，根據(jù)梯形的中位線定理即可列方程求得．

解答：解：（1）∵A（-

12

k

，0），B（0，12），k＞0．
∴OA=

12

k

，OB=12．
易證△OAB∽△OBC，
∴

OA

OB

=

OB

OC

，
∴OC=

OB2

OA

=12k，OC-OA=7，
∴12k-

12

k

=7，解得：k=

4

3

或-

3

4

（舍去）．
∴k=

4

3

，
∴A（-9，0），C（16，0）．
則直線BC的解析式是：y=-

3

4

x+12；
（2）∵P、Q、D、B四點(diǎn)共圓，
∴∠DAQ=∠DPQ=∠ABO=∠C，
∴BD∥AC．
設(shè)F是PQDB所在圓的圓心，則F是PQ的中點(diǎn)，作CD的中垂線MN必過F．
再作PG⊥AO，QL⊥OC，F(xiàn)N是梯形GHQP的中位線，
Rt△APG和Rt△QCL三邊的比是3：4：5．
∴AG=

3

5

AP=

3

5

×4t=

12t

5

，CL=

4

5

QC=

4

5

×3t=

12t

5

，
即AG=CL，
∴AN=CN
∴N是AC的中點(diǎn)，N（

7

2

，0），
∴BD=2BM=7．
（3）作PG⊥x軸于點(diǎn)G，QL⊥x軸于點(diǎn)L．
則

PG

OB

=

AP

AB

=

4t

15

，
則PG=

16t

5

，同理，QL=

9t

5

．
∵F是PQ的中點(diǎn)，作FH⊥BD，
∴FN是梯形PGLQ的中位線，
∴FN=

1

2

（PG+QL）=

5t

2

，
則FH=12-FN，
當(dāng)FH=BD時(shí)，12-

5t

2

=7，
解得：t=2．

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)與梯形的中位線定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確作出輔助線，構(gòu)造梯形是關(guān)鍵．