Question

如圖點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且PA=2，PB=2

3

，PC=4，則∠APC的大小是

 

度．

Answer 1

分析：由于△ABC為等邊三角形，所以將△ABP繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ACP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AB與AC重合，∠PAP′=60°，AP′=AP=2，P′C=PB=2

3

，則△APP′是等邊三角形，得到PP′=2；在△PPC中，利用勾股定理的逆定理可得到∠PP′C=90°，同時(shí)得到∠P′CP=30°，因此∠P′PC=60°，即可得到APC=∠APP′+∠P′PC．

解答：解：∵△ABC為等邊三角形，
則將△ABP繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ACP′，如圖，連PP′
∴AB與AC重合，∠PAP′=60°，
∴AP′=AP=2，P′C=PB=2

3

，
∴△APP′是等邊三角形，
∴PP′=2，
在△PPC中，PP′=2，P′C=2

3

，PC=4，
∴PP^'2+P′C²=16=PC²
∴∠PP′C=90°，∠P′CP=30°，
∴∠P′PC=60°
所以∠APC=∠APP′+∠P′PC=120°．
故答案為120．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理以及在直角三角形中一直角邊等于斜邊的一半則這條直角邊所對(duì)的角為30度．