【題目】如圖,直線y=x+4與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),與x軸正半軸交于點(diǎn)C,連接BC,P為線段AC上的動(dòng)點(diǎn),P與A,C不重合,作PQ∥BC交AB于點(diǎn)Q,A關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)為D,連接PD,QD,BD.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)D在拋物線上時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,△PDQ與△ABC的重疊部分的面積為S
①直接寫(xiě)出S與x的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)△BDQ為直角三角形時(shí),直接寫(xiě)出x的值.
【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)(1,0);(3)①當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,②當(dāng)為直角三角形時(shí),x的值是或.
【解析】
(1)根據(jù)一次函數(shù)解析式求得A,B兩點(diǎn)坐標(biāo),然后代入到二次函數(shù)解析式中,用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,0),由拋物線解析式求得C點(diǎn)坐標(biāo),由此求得∠BCO=45°,由平行線的和對(duì)稱的性質(zhì)求得∠QPA=∠BCO=45°,∠APD=90°,從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)(x,x+3),然后根據(jù)點(diǎn)D在拋物線上列方程求解;
(3)①存在2種情況,一種是點(diǎn)D在BC的左側(cè),另一種是點(diǎn)D在BC的右側(cè),利用三角形相似與面積的關(guān)系可求得;
②分當(dāng)∠QBD=90°和∠QDB=90°兩種情況,結(jié)合勾股定理及平行線分線段成比例定理求解AP的長(zhǎng),從而求x的值.
解:(1)在y=x+4中,令x=0則y=4,令y=0則x=-3
∴A(-3,0),B(0,4)
∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)
∴
解得
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,0)
令y=﹣x2+x+4=0
解得,
所以C(4,0)
∴OB=OC=4
又∵ PQ∥BC且點(diǎn)A關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)為D,
∴∠QPA=∠DPQ=∠BCO=45°
∴∠APD=90°
又∵A(-3,0)
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)(x,x+3),
由題意點(diǎn)D在拋物線上
∴x+3=﹣x2+x+4
解得
∵P與A,C不重合
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)(1,0).
①當(dāng)點(diǎn)D剛好在BC上時(shí)
∵B(0,4),C(4,0)
∴直線BC的解析式為:y=-x+4
當(dāng)點(diǎn)D剛好在BC上時(shí),則D(x,-x+4)
∵PD=AP
∴-x+4=3+x,解得:x=
情況一:當(dāng)點(diǎn)D在直線BC的左側(cè)時(shí),即當(dāng)時(shí),圖形如下:
則
∵A(-3,0),B(0,4),C(4,0)
∴
∵QP∥BC
∴∠AQP=∠ABC
∵∠QAP=∠BAC
∴△AQP∽△ABC
∴
解得:,即
情況二:當(dāng)點(diǎn)D在直線BC的右側(cè)時(shí),即當(dāng)時(shí),圖形如下,QD交BC于點(diǎn)F,DP交BC于點(diǎn)E:
則
已求出
∵∠BCO=45°,∴∠QPA=∠QPD=45°
∴∠APD=90°,即DP⊥x軸
∴△PEC是等腰直角三角形
∴PE=PC=4-x
∵AP=x+3,∴PD=x+3
∴ED=DP-PE=2x-1
同理可知,∽△ABC
∴
解得:
∴-()=
即:
綜上得:當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),
②如圖,連接AD,由對(duì)稱性可知AD⊥PQ
∴點(diǎn)D必在過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線上,設(shè)垂足為E
∴PQ∥BC
當(dāng)∠QBD=90°時(shí),
∴
,即
解得:,則AF=
∴
∴,即
解得:
∴
當(dāng)∠BDQ=90°時(shí),由上可知:,
∴根據(jù)勾股定理可得
如圖,若PQ=5,QN=,
設(shè)QM=MP=a,則
∴由勾股定理可得
解得:
∴
即
∴,,
解得
∴
綜上所述,x的值為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為穩(wěn)步推進(jìn)5G網(wǎng)絡(luò)建設(shè),深化共建共享,當(dāng)甲隊(duì)施工20天完成5G基站建設(shè)工程的時(shí),乙隊(duì)加入該工程,結(jié)果比甲隊(duì)單獨(dú)施工提前25天完成了剩余的工程.
(1)若乙隊(duì)單獨(dú)施工,需要多少天才能完成該項(xiàng)工程?
(2)若乙隊(duì)參與該項(xiàng)工程施工的時(shí)間不超過(guò)12天,則甲隊(duì)從開(kāi)始施工到完成該工程至少需要多少天?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線與反比例函數(shù)的圖象交于A(-1,3),B(3,)兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D.
(1)求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)P在直線上,且S△ACP=2S△BDP,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1是兩圓柱形連通容器,兩根鐵棒直立于甲容器底部(連通處及鐵棒體積忽略不計(jì)),向甲容器勻速注水,甲容器的水面高度h(cm)與時(shí)間t(分)的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.已知兩根鐵棒的長(zhǎng)度之和為34cm,當(dāng)水面達(dá)到連通處時(shí),一根露出水面的長(zhǎng)度是它的,另一根露出水面的長(zhǎng)度是它的.
(1)①圖2中(3,a)表示的實(shí)際意義是 ;
②請(qǐng)求出a的值;
(2)若甲、乙兩容器的底面積之比為S甲,S乙=3:2.
①直接寫(xiě)出b的值為 ;
②求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有甲、乙兩種客車,2輛甲種客車與3輛乙種客車的總載客量為180人,1輛甲種客車與2輛乙種客車的總載客量為105人.
(1)請(qǐng)問(wèn)1輛甲種客車與1輛乙種客車的載客量分別為多少人?
(2)某學(xué)校組織240名師生集體外出活動(dòng),擬租用甲、乙兩種客車共6輛,一次將全部師生送到指定地點(diǎn).若每輛甲種客車的租金為400元,每輛乙種客車的租金為280元,請(qǐng)給出最節(jié)省費(fèi)用的租車方案,并求出最低費(fèi)用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有甲、乙兩種客車,2輛甲種客車與3輛乙種客車的總載客量為180人,1輛甲種客車與2輛乙種客車的總載客量為105人.
(1)請(qǐng)問(wèn)1輛甲種客車與1輛乙種客車的載客量分別為多少人?
(2)某學(xué)校組織240名師生集體外出活動(dòng),擬租用甲、乙兩種客車共6輛,一次將全部師生送到指定地點(diǎn).若每輛甲種客車的租金為400元,每輛乙種客車的租金為280元,請(qǐng)給出最節(jié)省費(fèi)用的租車方案,并求出最低費(fèi)用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,中,,,,點(diǎn)在內(nèi),且平分,平分,過(guò)點(diǎn)作直線,分別交、于點(diǎn)、,若與相似,則線段的長(zhǎng)為( )
A.5B.C.5或D.6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形,將矩形ABCD沿著直線BC翻折,點(diǎn)A、點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、D′,如果直線A′D′與⊙O相切,那么的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩校各選派10名學(xué)生參加“美麗泰州鄉(xiāng)土風(fēng)情知識(shí)”大賽預(yù)賽.各參賽選手的成績(jī)?nèi)缦拢?/span>
甲校:93,98,89,93, 95,96, 93,96,98, 99;
乙校:93,94,88,91,92,93,100, 98,98,93.
通過(guò)整理,得到數(shù)據(jù)分析表如下:
學(xué)校 | 最高分 | 平均分 | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
甲校 | 99 | a | 95.5 | 93 | 8.4 |
乙校 | 100 | 94 | b | 93 | c |
(1)填空:a = ,b = ;
(2)求出表中c的值,你認(rèn)為哪所學(xué)校代表隊(duì)成績(jī)好?請(qǐng)寫(xiě)出兩條你認(rèn)為該隊(duì)成績(jī)好的理由.
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