Question

在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

1

2

x+m（m＞0）與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)A作x軸的垂線交直線y=x于點(diǎn)D，C點(diǎn)的坐標(biāo)（m，0），連接CD．
（1）求證：CD⊥AB；
（2）連接BC交OD于點(diǎn)H（圖2），求證：DH=

3

2

BC．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)直線y=-

1

2

x+m可以求出OB=m，OA=2m，由C點(diǎn)坐標(biāo)（m，0），可以求出OC=m，求出AC=m，得AC=OB，由D點(diǎn)在直線y=x上可以知道OA=AD，從而證明△AOB≌△DAC，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ABO=∠DCA，從而可以推出∠BAO+∠DCA=90°，即可得出結(jié)論；
（2）由（1）可得OC=OB，利用勾股定理求出BC的長度，根據(jù)OA=AD可得∠AOD=45°，根據(jù)等腰直角三角形的直角邊與斜邊的關(guān)系求出OH、OD，從而求出DH的長，兩者相比即可得證．

解答：證明：（1）∵y=-

1

2

x+m，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=m，
當(dāng)y=0時(shí)，-

1

2

x+m=0，解得x=2m，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)是A（2m，0），B（0，m），
∴OA=2m，OB=m．
∵C點(diǎn)坐標(biāo)（m，0），
∴OC=m，AC=2m-m=m，
∴AC=OB．
∵D點(diǎn)在直線y=x上，
∴OA=AD=2m，
又∵AD⊥x軸，
∴∠DAC=∠AOB=90°．
在△AOB與△DAC中，

OB=AC ∠AOB=∠DAC=90° OA=AD

，
∴△AOB≌△DAC（SAS），
∴∠ABO=∠DCA，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO+∠DCA=90°，
∴CD⊥AB；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，OC=OB=m，
由勾股定理得BC=

OB2+OC2

=

m2+m2

=

2

m，
∵OA=AD=2m，
∴∠AOD=45°，
∴OH=

2

2

OC=

2

2

m，OD=

2

OA=2

2

m，
∴DH=OD-OH=2

2

m-

2

2

m=

3 2

2

m，
∴

DH

BC

=

3 2 2 m

2 m

=

3

2

，
∴DH=

3

2

BC．

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)綜合題，其中涉及到一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中，熟記等腰直角三角形的直角邊與斜邊的關(guān)系可提高解題速度．