Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c交x軸于點A、B，交y軸于點C，其中點B坐標為（1，0），點C坐標為（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)直線y=kx-1（k≠0）與拋物線交于點M、N，試求出當y軸平分△CMN的面積時的直線函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)直線y=kx-1與y軸相交于點E，點P是直線y=kx-1上一點，過點P作直線PQ平行于y軸yOx交拋物線于點Q，連接CQ，問是否存在以P、E、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將點B（1，0），點C（0，3）代入y=-x²+bx+c，求出b，c的值，即可得出答案；
（2）根據(jù)直線與拋物線相交，得出x²+（k+2）x-4=0，再根據(jù)y軸平分△CMN的面積和M、N兩點的橫坐標互為相反數(shù)，得出-（k+2）=0，求出k的值，即可得出答案；
（3）設(shè)點P的坐標為P（m，-2m-1），則點Q的坐標為（m，-m²-2m+3），根據(jù)直線y=kx-1與y軸相交于點E，求出CE的長，再根據(jù)四邊形PECQ是平行四邊形，得出PQ=CE，再分兩種分情況討論：當點P在線段MN上時和點P在線段MN外時，分別求出PQ的值，求出m的值，從而得出點P的坐標．

解答：解：（1）將點B（1，0），點C（0，3）代入y=-x²+bx+c得：

-1+b+c=0 c=3

，
解得：

b=-2 c=3

，
則拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）由題意得：

y=kx-1   ① y=-x2-2x+3  ②

，
①-②得：x²+（k+2）x-4=0，
∵y軸平分△CMN的面積，M、N兩點的橫坐標互為相反數(shù)，
∴-（k+2）=0，
∴k=-2，
∴直線與函數(shù)的關(guān)系式是：y=-2x-1；

（3）設(shè)點P的坐標為P（m，-2m-1），則點Q的坐標為（m，-m²-2m+3），
∵直線y=kx-1與y軸相交于點E，C（0，3），
∴點E坐標為（0，-1），
∴CE=4，
∵四邊形PECQ是平行四邊形，
∴PQ=CE=4，
∴①當點P在線段MN上時，
PQ=-（-m²-2m+3）-（-2m-1）=-m²+4，
∴-m²+4=4，
解得：m₁=m₂=0（不合題意，舍去），
②當點P在線段MN外時，
PQ=（-2m-1）-（-m²-2m+3）=m²-4，
∴m²-4=4，
解得：m₁=2

2

，m₂=-2

2

，
當m₁=2

2

時，-2m-1=-4

2

-1，
當m₂=-2

2

時，-2m-1=4

2

-1，
∴點P₁（2

2

，-4

2

-1），點P₂（-2

2

，4

2

-1）．

點評：此題考查了二次函數(shù)的綜合，用到的知識點待定系數(shù)法和平行四邊形的性質(zhì)．在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論．