Question

已知拋物線與x軸交于點A（-2，0）、B（4，0），且頂點到x軸的距離為3，求拋物線的解析式．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：扇形根據(jù)點A、B的縱坐標(biāo)相等，利用拋物線的對稱性列式計算可求出拋物線的對稱軸，即為頂點的橫坐標(biāo)，在分點P在AB的上方和下方兩種情況求出頂點的坐標(biāo)，再利用頂點式解析式求解即可．

解答：解：（1）∵點A（-2，0）、B（4，0）的縱坐標(biāo)都是0，
∴點A、B關(guān)于對稱軸對稱，
∴對稱軸方程為直線x=1，
∴頂點的橫坐標(biāo)為1，
當(dāng)點P在AB的上方時，
∵P到x軸的距離為3，
∴點P的縱坐標(biāo)為3，
∴點P的坐標(biāo)為（1，3），
設(shè)y=a（x-1）²+3，
則a（-2-1）²+3=0，
解得a=-

1

3

，
拋物線解析式為y=-

1

3

（x-1）²+3；
當(dāng)點P在AB的下方時，
∵P到x軸的距離為3，
∴點P的縱坐標(biāo)為-3，
∴點P的坐標(biāo)為（1，-3），
設(shè)y=a（x-1）²-3，
則a（-2-1）²-3=0，
解得a=

1

3

，
拋物線解析式為y=

1

3

（x-1）²-3，
綜上所述，此拋物線的解析式y(tǒng)=-

1

3

（x-1）²+3或y=

1

3

（x-1）²-3．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的對稱性和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，難點在于（2）分情況求出頂點P的坐標(biāo)并利用頂點式解析式求解．