Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DB⊥BC，DA=DB，點E是BC的中點，DE與AB相交于點G．
（1）求證：DE⊥AB；
（2）如果∠FCB=∠FBC=∠DAB，設(shè)DF與BC交于點H，求證：DH=FH．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：證明題

分析：（1）欲證明DE⊥AB，只需推知AE=BE即可；
（2）欲證明DH=FH，需要證得四邊形BDEF是平行四邊形．

解答：證明：（1）如圖，連接AE．
∵∠BAC=90°，BE=EC，
∴AE=BE=

1

2

BC．
又∵DA=DB，
∴DE垂直平分AB，即DE⊥AB；

（2）∵∠DBC=90°
∴∠DBA+∠ABC=90°
∵DA=DB，
∴∠DBA=∠DAB，
∵∠FBC=∠DAB
∴∠FBC+∠ABC=90°
∵∠AGE=90°
∴BF∥DE．
又∵∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC
∵BE=EC，∴FE⊥BC
∴∠DBE=∠BEF=90°
∴DB∥EF，
∴四邊形DBFE是平行四邊形，
∴DH=FH．

點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線．平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時要認(rèn)真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．